HDU 5279 YJC plays Minecraft (分治NTT优化DP)

题目传送门

题目大意：有$n$个小岛，每个小岛上有$a_{i}$个城市，同一个小岛上的城市互相连接形成一个完全图，第$i$个小岛的第$a_{i}$个城市和第$i+1$个小岛的第$1$个城市连接，特别地，第$n$个小岛的第$a_{n}$个城市和第$1$个小岛的第$1$个城市连接。现在要断掉图中的一些边，保证任意两个城市只有一条路径或者不连通，求合法的断边方案总数，$n,a_{i}<=1e5$

完全不会（喷血

我们对每个小岛单独讨论

如果任意两个城市只有一条路径或者不连通，那么这张图只能是一个森林

定义$f[i]$表示$i$个点的完全图的答案

我们对第$i$个点所在的树进行讨论， 设$i$点所在的树除了$i$点还有$j$个节点，可以得到方程

$f[i]=\sum\limits_{j=0}^{i-1} C_{i-1}^{j}f[i-j-1](j+1)^{j-1}$

完全图有标号生成树个数是$n^{n-2}$

把上述式子展开，发现是一个卷积形式，可以用分治$NTT$求解

显然小岛间的边至少断一条就ok了

如果一条都不断边呢？

就要保证至少一个小岛内的$1$号点和$a_{i}$号点不连通

我们去掉每个小岛的$1$号点和$a_{i}$号点都连通的方案数就行了

这种情况的$DP$方程和上面的差不多， 设$i$点所在的树除了$i$点和$1$号点还有$j$个节点

$g[i]=\sum\limits_{j=0}^{i-2} C_{i-1}^{j-1}f[i-j-2](j+2)^{j}$

不用分治直接$NTT$就行了

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define N1 (1<<18)+10
 #define il inline
 #define dd double
 #define ld long double
 #define ll long long
 using namespace std;

 const int inf=0x3f3f3f3f;
 const ll p=;
 int gint()
 {
     int ret=,fh=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')fh=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
     return ret*fh;
 }
 ll qpow(ll x,ll y)
 {
     ll ans=;
     for(;y>;x=x*x%p,y>>=) if(y&) ans=ans*x%p;
     return ans;
 }

 int T,n,m;
 namespace NTT{
 ll a[N1],b[N1],c[N1],Wn[N1],_Wn[N1];
 int r[][N1];
 void Pre(int len,int L)
 {
     int i,j;
     for(j=;j<=L;j++) for(i=;i<(<<j);i++)
         r[j][i]=(r[j][i>>]>>)|((i&)<<(j-));
     for(i=;i<=len;i<<=) Wn[i]=qpow(,(p-)/i), _Wn[i]=qpow(Wn[i],p-);
 }
 void NTT(ll *s,int len,int type,int L)
 {
     int i,j,k; ll wn,w,t;
     for(i=;i<len;i++) if(i<r[L][i]) swap(s[i],s[r[L][i]]);
     for(k=;k<=len;k<<=)
     {
         wn=(type>)?Wn[k]:_Wn[k];
         for(i=;i<len;i+=k)
         {
             for(j=,w=;j<(k>>);j++,w=w*wn%p)
             {
                 t=w*s[i+j+(k>>)]%p;
                 s[i+j+(k>>)]=(s[i+j]+p-t)%p;
                 s[i+j]=(s[i+j]+t)%p;
             }
         }
     }
 }
 void Main(int len,int L)
 {
     int i,invl=qpow(len,p-);
     NTT(a,len,,L); NTT(b,len,,L);
     for(i=;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i]%p;
     NTT(c,len,-,L);
     for(i=;i<len;i++) c[i]=c[i]*invl%p;
 }
 void clr(int sz)
 {
     memset(a,,sz<<);
     memset(b,,sz<<);
 }
 };

 using NTT::a; using NTT::b; using NTT::c;
 ll F1[N1],F2[N1],f[N1],g[N1],mul[N1],_mul[N1];
 void CDQ(int l,int r)
 {
     if(r-l==&&l)
     {
         F1[l]=(f[l]*mul[l-]%p+qpow(l,l-))%p;
         f[l]=F1[l]*_mul[l]%p;
     }
     if(r-l<=) return;
     int mid=(l+r)>>,i,len,L;
     CDQ(l,mid);
     for(len=,L=;len<(mid-l)+(r-l)-;len<<=,L++);
     for(i=l;i<mid;i++) NTT::a[i-l]=f[i];
     for(i=;i<(r-l);i++) NTT::b[i]=g[i];
     NTT::Main(len,L);
     for(i=mid;i<r;i++) f[i]=(f[i]+NTT::c[i-l])%p;
     NTT::clr(len);
     CDQ(mid,r);
 }
 int v[][N1],sz[];

 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     int i,j,x,y,len,L,t;
     for(t=;t<T;t++)
     {
         sz[t]=gint();
         for(i=;i<=sz[t];i++) v[t][i]=gint(), n=max(n,v[t][i]);
     }
     for(len=,L=;len<n+n-;len<<=,L++);
     NTT::Pre(len,L);
     mul[]=mul[]=_mul[]=_mul[]=;
     for(i=;i<=n;i++) mul[i]=mul[i-]*i%p, _mul[i]=qpow(mul[i],p-);
     for(i=,g[]=;i<=n;i++) g[i]=qpow(i,i-)*_mul[i-]%p;
     CDQ(,n+);
     for(i=;i<=n;i++) NTT::a[i]=F1[i]*_mul[i]%p;  NTT::a[]=; // f[j] / (j-1)!
     for(i=;i<=n;i++) NTT::b[i]=qpow(i,i-)*_mul[i-]%p; // j^(j-2) / (j-2)!  NTT::b[1]=1;
     NTT::Main(len,L);  F2[]=;
     for(i=;i<=n;i++) F2[i]=mul[i-]*NTT::c[i]%p;
     for(t=;t<T;t++)
     {
         ll ans=qpow(,sz[t]),ret=;
         for(i=;i<=sz[t];i++) ans=ans*F1[v[t][i]]%p;
         for(i=;i<=sz[t];i++) ret=ret*F2[v[t][i]]%p;
         ans=(ans+p-ret)%p;
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;

 }