CodeForces 1098D. Eels

题目简述：对一个非空正整数（可重）集合$S$，从中选出两个元素$a, b (a \leq b)$，将他们从$S$中删除并将$a+b$加入$S$，重复这个操作直到$S$中只剩下一个元素为止，称为一次【竞技】。若一次操作中$a \leq b \leq 2a$，则称这次操作是【危险的】。一次竞技的【危险值】为其中【危险的】操作的次数。定义这个集合$S$的【危险值】（记作$\text{danger}(S)$）为：所有可能的竞技的【危险值】的最大值。设一个集合$S$初始为空集，维护以下操作：

1. 插入一个数$1 \leq x \leq 10^9$。

2. 删除一个（已有的）数$1 \leq x \leq 10^9$。

每次操作后，计算$\text{danger}(S)$。

解：code

对$x \in S$，定义$S$中比$x$小的数之和为

$$ f(x) = \sum_{a \in S, a < x} a. $$

定义$x$的等级为

$$ g(x) = \max_{a \in S, a < x} \{ g(a) \} + [2f(x)<x], $$

特别地，$\max \emptyset = 0$。

令$S$中的最高等级为

$$t = \max_{x \in S} \{ g(x) \}. $$

观察0：若$x < y$，则$ g(x) \leq g(y) \leq g(x)+1 $。

观察1：$\text{danger}(S)=|S|-t$。

证明：

先证$\text{danger}(S) \leq |S|-t$。令$T = \{ (x, g(x)): x \in S \}$，则$S$中的一次操作

【从$S$中取出两个元素$a$和$b$，并把$a+b$插入$S$。】

可对应为$T$的一次操作：

【从$T$中取出两个元素$(a, x)$和$(b, y)$，并把$(a+b, \max\{x,y\})$插入$T$。】

于是$S$的一次竞技，可对应$T$的一次竞技。

注意到，若$T$中的一次操作有$x = y$，则称这次操作是【不安全的】。$S$的任何一次不【危险的】操作，在$T$中都不是【不安全的】。$T$中一次竞技的【不安全值】为其中【不安全的】操作的次数。定义$T$的【不安全值】为所有可能的竞技的不安全值的最大值，记作$\text{unsafe}(T)$。则显然有$\text{danger}(S) \leq \text{unsafe}(T)$。

另一方面，$T$的任意一个可能的竞技中，都会导致竞技的结果剩下$(\sum_{a \in S} a, \max_{a \in S} \{ g(a) \})$，又至少有$t-1$次操作有$x \neq y$，从而$\text{unsafe}(T) \leq (|T|-1)-(t-1) = |T|-t$，即$\text{danger}(S) \leq |S|-t$。

再证$\text{danger}(S) \geq |S|-t$。我们只需给出一个竞技策略，即每次操作是从$S$中取出最小的两个元素$a$和$b$，并把$a+b$插入$S$。假设在某次操作$a$和$b$（$a \leq b$）的不【危险的】，即$2a<b$，则$b$不曾被合并过（或者说$b$是$S$的原始元素），不然设$b = c+d$其中$c \leq d$，则$d \geq b/2 > a$，这说明$d$在$a$之前参与了某次合并操作，这与我们的竞技策略矛盾。这个竞技策略会导致，每种不同等级的元素中，恰好有一个（这个等级中某个最小的元素）参与了不【危险的】操作，从而这个竞技的【危险值】为$|S|-t$。故$\text{danger}(S) \geq |S|-t$。

综上，有$\text{danger}(S)=|S|-t$。

QED

因此，我们把$\text{danger}(S)$的计算转化为求$S$中元素的最高等级$t$。

观察2：$g(x) \leq \log_2 x + 1$，从而$t \leq \log_2 V+1$，其中$V = \max_{x \in S} \{x\}$。（数学归纳法）

我们将元素的取值范围划分为$[1, 2), [2, 4), [4, 8), \dots, [2^{k}, 2^{k+1}), \dots, [2^{29}, 2^{30})$。

观察3：在$[2^{k}, 2^{k+1})$范围内的至多存在一个$x \in [2^{k}, 2^{k+1})$，使得$g(y) < g(x)$对任意$y < x$成立。若存在这样的$x$，则$x$必为$[2^{k}, 2^{k+1})$中的最小值，且$2f(x)<x$。$t$等于满足这个条件的$x$的个数。

于是对每个$k = 0, 1, 2, \dots, 29$，维护容器$H[k]$，在插入（或删除）一个元素$x$时，若$x \in [2^{k}, 2^{k+1})$，则把$x$插入（或删除自）$H[k]$。对计算$\text{danger}(S)$，只需统计满足【观察3】的条件的$x$的个数。可用multiset来维护$H[k]$。

一共需要维护$O(\log V)$个multiset，从而时间复杂度为$O(Q \log Q \log V)$，其中$Q$为询问次数，$V$为所有元素的最大值。