Yet Another Number Sequence

题意：

$F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

求解$\sum_{i=1}^n{ F_i i^K } \  mod \  10^9+7$。

解法：

记$S(n,m) = \sum_{i=1}^n { F_i i^m}$

这样有：

$$S(2n,m)  = \sum_{i=1}^n{F_i i^m} + \sum_{i=1}^n{F_{i+n} (i+n)^m}$$

记$G = \lgroup \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \rgroup$

有$F_n = G_{1,1}$

将$S(n,m)$的含义换为对应求和的矩阵。

1.考虑从$S(n,m)$推到$S(2n,m)$

$$S(2n,m) = \sum_{i=1}^n{G^n i^m} + G^n \sum_{i=1}^n{G^{i} (i+n)^m}$$

$$S(2n,m) = \sum_{i=1}^n{G^n i^m} + G^n \sum_{i=1}^n{G^{i} \sum_{r=0}^m{i^rm^{m-r}C_m^r}}$$

$$S(2n,m) = \sum_{i=1}^n{G^n i^m} + G^n \sum_{r=0}^m{m^{m-r}C_m^r S(n,r)}$$

这样$O(K)$完成单次转移。

2.考虑从$S(n,m)$推到$S(n+1,m)$

$$S(n+1,m) = S(n,m) + (n+1)^m G^{n+1}$$

这样分治下去，总效率$O(K^2 logn)$

（注意本题中n过大，要先对于n取模再进行乘法）

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 #define LL long long
 #define P 1000000007LL

 using namespace std;

 struct MA
 {
     LL a[][];

     void init()
     {
         memset(a,,sizeof(a));
     }

     MA operator*(const MA &x)const
     {
         MA c;
         for(int i=,j,k;i<;i++)
             for(j=;j<;j++)
             {
                 c.a[i][j]=;
                 for(k=;k<;k++)
                 {
                     c.a[i][j]+=a[i][k]*x.a[k][j]%P;
                     if(c.a[i][j]>=P) c.a[i][j]-=P;
                 }
             }
         return c;
     }

     MA operator*(const LL &x)const
     {
         MA c;
         for(int i=,j;i<;i++)
             for(j=;j<;j++)
                 c.a[i][j] = a[i][j]*x%P;
         return c;
     }

     MA operator+(const MA &x)const
     {
         MA c;
         for(int i=,j;i<;i++)
             for(j=;j<;j++)
                 c.a[i][j] = (a[i][j]+x.a[i][j])%P;
         return c;
     }

     void print()
     {
         puts("Matrix");
         for(int i=,j;i<;i++)
         {
             for(j=;j<;j++) cout<<a[i][j]<<' ';
             cout<<endl;
         }
     }
 };

 MA G,Gn;
 MA S[][];
 LL n,power[],C[][];
 int K,now;

 void solve(LL n)
 {
     if(n==)
     {
         now=;
         Gn = G;
         for(int i=;i<=K;i++) S[now][i] = G;
         return;
     }
     solve(n>>);
     now^=;
     MA tmp;
     power[]=;
     for(int k=;k<=K;k++) power[k] = power[k-]*((n>>1LL)%P)%P;
     for(int k=;k<=K;k++)
     {
         tmp.init();
         for(int r=;r<=k;r++)
             tmp = tmp + ( S[now^][r] * (C[k][r]*power[k-r]%P) );
         S[now][k] = S[now^][k] + (Gn * tmp);
     }
     Gn = Gn*Gn;
     if(n&)
     {
         Gn = Gn*G;
         power[]=1LL;
         for(int k=;k<=K;k++)
         {
             S[now][k] = S[now][k] + (Gn * power[k]);
             power[k+] = power[k]*(n%P)%P;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     G.a[][]=; G.a[][]=;
     G.a[][]=; G.a[][]=;
     while(~scanf("%I64d%d",&n,&K))
     {
         C[][]=;
         for(int i=;i<=K;i++)
         {
             C[i][]=;
             for(int j=;j<=i;j++)
             {
                 C[i][j] = C[i-][j-]+C[i-][j];
                 if(C[i][j]>=P) C[i][j] -= P;
             }
         }
         solve(n);
         cout << S[now][K].a[][] << endl;
     }
     return ;
 }