【atcoder】GP 2 [agc036C]

　　题目传送门：https://atcoder.jp/contests/agc036/tasks/agc036_c

　　题目大意：给你一个长度为$N$初始全0的序列，每次操作你可以找两个不同的元素，一个自增1，一个自增2，问$M$次操作后，能出现多少种不同的序列。

　　这道题比赛时分析的时候漏条件了，导致最后一个样例一直过不去，不过考虑上漏掉的条件分析起来也是比较复杂的。

　　我们可以发现如果一个序列$a$是合法的，当且仅当它满足以下条件：

　　　　1. $\sum_{i=1}^{N} a_i=3M$。

　　　　2. 整个序列里至多有$M$个奇数。

　　　　3. $\max_{i=1}^{N} a_i<=2M$。

　　证明可以考虑对$M$数学归纳。

　　我们可以先忽略条件3，枚举奇数的个数$i$，那么就是相当于对于一个全是偶数的数列，选择$i$个加上1，总方案数为$\sum_{i=1}^{\min(N,M)}\binom{N}{i}\binom{N-1+3M-i}{N-1}$，可以在$O(n+m)$的时间复杂度下计算。

　　然后在考虑减去不满足条件3的方案数。由于序列中大于$2M$的元素最多只有一个，因此我们可以钦定那个大于$2M$的元素为$a_1$，并将其减去$2M$，这样操作后的序列，并且原序列如果满足原序列是满足条件1,2，不满足条件3，当且仅当操作后的序列满足以下条件：

　　　　a. $\sum_{i=1}^{N} a_i=3M$。

　　　　b. 整个序列至多有$M$个奇数。（减去$2M$不改变奇偶性）

　　　　c. $a_1>0$。

　　我们再把这些方案看作两部分相减：忽略条件c的方案减去考虑条件c非法的答案，而我们发现这样的忽略条件c的方案条件与上面的条件1,2相似，可以用相似方法统计，而考虑条件c时因为钦定$a_1=0$，所以直接序列整体平移，$N$自减1再统计即可。

　　代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mod 998244353
#define Mod1(x) (x>=mod?x-mod:x)
#define Mod2(x) (x<0?x+mod:x)
#define maxn 3000010
inline ll read()
{
    ll x=; char c=getchar(),f=;
    for(;c<''||''<c;c=getchar())if(c=='-')f=-;
    for(;''<=c&&c<='';c=getchar())x=x*+c-'';
    return x*f;
}
inline void write(ll x)
{
    static int buf[],len; len=;
    if(x<)x=-x,putchar('-');
    for(;x;x/=)buf[len++]=x%;
    if(!len)putchar('');
    else while(len)putchar(buf[--len]+'');
}
inline void writeln(ll x){write(x); putchar('\n');}
inline void writesp(ll x){write(x); putchar(' ');}
ll fac[maxn],inv[maxn];
int n,m;
inline ll power(ll a,ll b)
{
    ll ans=;
    for(;b;b>>=,a=a*a%mod)
        if(b&)ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
inline ll C(int n,int m){return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
inline ll calc(int n,int m,int k)
{
    ll sum=;
    for(int i=;i<=n&&i<=k;i++)
        if(!((m-i)&)&&m>=i)sum=(sum+C(n,i)*C((m-i)/+n-,n-))%mod;
    // writeln(sum);
    return sum;
}
int main()
{
    n=read(); m=read();
    fac[]=inv[]=;
    for(int i=;i<=n+*m;i++){
        fac[i]=fac[i-]*i%mod;
        inv[i]=power(fac[i],mod-);
    }
    ll ans=(calc(n,*m,m)-n*(calc(n,m,m)-calc(n-,m,m)+mod))%mod;
    writeln(Mod2(ans));
    return ;
}

agc036C