初见Gnuplot——时间序列的描述

　　研读一本书，《数据之魅：基于开源工具的数据分析》(Data Analysis with Open Source Tools)，写的很好。这里，复述一下书中用Gnuplot分析时间序列数据的部分。

　　Gnuplot安装很简单，直接到官网下载exe文件，安装运行即可（我是win7 32bit）。数据集来自这里，下载解压后，找到carbon.dioxide.txt文件，把内容复制到test.txt（方便而已），将test.txt文件放到Gnuplot的默认文件目录中（我的是在C:\Users\Administrator\Documents）。数据格式和书里面不太一样，只有一列，不过不影响分析。

　　首先，看下数据的总体趋势。

plot 'test.txt' u 1 w l

　　可以解释为，画出，'test.txt'的图像，用（u-->using）第 1 列的数据，用直线表示（w l --> with line）.

　　输出图形：

　　可以看出总体非线性的上升趋势和短期的周期性。

　　为了模拟方便，将数据减去一个垂直偏移，是图像经过原点。

plot 'test.txt' u 0:($1-315) w l

　　这里，$1表是引用用数据的第一列的数据。用行号作为x坐标（位于伪列0），第一列（数据列）减去315，作为对应的y的坐标.

　　输出如下：

　　可以看到，曲线符合幂函数想x^k的特征，且曲线下凸，得出其k>1.

　　为了固定图的右上角（这里不太懂。。。），我们需要调整两轴，因为x^k通过（1,1），那么b(x/a)^k将通过(a,b)。这样就找到一个待定的拟合函数。点(35,350)在其附近，故得到函数35*(x/350)^k,这里仅知道k>1，经过测试，k=1.35时，拟合得最好。

plot 'test.txt' u 0:($1-315) w l, 35*(x/350)**1.35

　　拟合图如下：

　　这样，我们继续，如果上面的函数拟合的足够好，那么消除这个总体趋势后，剩余部分将不会表现自身的趋势，将仅仅关于y=0对称。

plot 'test.txt' u 0:($1-315-35*($0/350)**1.35) w l

　　从下面输出可以看出，基本是符合的。

　　在数据中很难看到长期趋势，一次我们用一天平滑曲线去逼近它。这里利用Gnuplot里面的加权样条法。

 f(x) = 315 + 35*(x/350)**1.35
 plot 'test.txt' u 0:($1-f($0)) w l, "" u 0:($1-f($0)):(0.001) s acs w l

　　输出如下，这里的“0.001”越小，生成的曲线越平滑。

　　可以看到，整体剩余部分几乎是平坦的，横跨0的上下两端，也就是说，剩余部分几乎不存在系统偏差的迹象了。

完成对趋势的处理后，接下来要处理的特征就是周期性。

　　观察上图，可以看出其接近于正弦曲线，且振幅接近3.由于数据是按照月份统计的，所以我们猜测周期是一年。这意味着，每隔12个数据点，数据就是相同的。

plot 'test.txt' u 0:($1-f($0)) w l, 3*sin(2*pi*x/12) w l

　　

　　可以看到，数据拟合得特别好！同样的，让我们看看，本次拟合的剩余部分。

f(x) = 315 + 35*(x/350)**1.35 + 3*sin(2*pi*x/12)
plot 'test.txt' u 0:($1-f($0)) w l, "" u 0:($1-f($0)):(0.001) s acs w l

　　输出如下：

　　让我们放大一个具体的区间看一下。这里lp为线点类型，[60,120]自然是区间。

plot [60:120] 'test.txt' u 0:($1-f($0)) w lp, "" u 0:($1-f($0)):(0.001) s acs w l

　　输出：

　　现在数出来两个主波谷间的数据点：12个！这是主要的季节性。但是，在两个主波谷之间还存在着一个次波谷，所以，图中含有更高次谐波（参考wiki解释，需翻墙）。

图中看到，上升部分为7个月，下降部分为5个月，对于这种不对称性，我们试一下第一次高次谐波。

f(x) = 315 + 35*(x/350)**1.35 + 3*sin(2*pi*x/12) - 0.75*sin(2*pi*$0/6)
plot 'test.txt' u 0:($1-f($0)) w l, "" u 0:($1-f($0)):(0.001) s acs w l

　　输出：

　　现在，我们再来看下残差。

plot 'test.txt' u 0:($1-f($0)) w l, "" u 0:($1-f($0)):(0.001) s acs w l,0,1,-1

　　输出：

　　观察到，残差偏向于正值，我们以0.1为单位调整垂直偏移。

f(x) = 315 + 35*(x/350)**1.35 + 3*sin(2*pi*x/12) - 0.75*sin(2*pi*$0/6) + 0.1
plot 'test.txt' u 0:($1-f($0)) w l, "" u 0:($1-f($0)):(0.001) s acs w l,0,1,-1

　　输出：

　　可以看到，残差已经很小了。现在，我们结合分析模型再来看一下原始数据。

f(x) = 315 + 35*(x/350)**1.35 + 3*sin(2*pi*x/12) - 0.75*sin(2*pi*$0/6) + 0.1
plot 'test.txt' u 0:1 w l , f(x)

　　输出：

　　Perfect！至此，我们已经得到一个解析式可以很好地描述数据。通过它，我们就可以相对准确地预测以后的数据。

plot [0:600] 'test.txt' u 0:1 w l , f(x)

　　

　　书中有段话写的很好：

那么问题的关键在哪里呢？关键在于，我们开始时对数据一无所知，即我们根本不知道数据会是什么样子。然后，经过逐层处理，我们剔除了数据的各个组成部分，直到只剩下随机噪音。最后，我们得到了一个明确的解析式，它很好地描述了数据。