hdu 4609 FFT

题意：给出一堆数，问从这些数中取3个能组成三角形的概率？

sol：其实就是问从这些数里取3个组成三角形有多少种取法

脑洞大开的解法：用FFT

设一开始的数是1 3 3 4

作一个向量x，其中x[i]=边长为i的边的个数

那么就有x=[0 1 0 2 1 0 0 0 0]

令y=x，对x和y作DFT，得到dx和dy。令dn=dx*dy，再对dn作IDFT得到n

那么就得到n=[0 0 1 0 4 2 4 4 1 0 ]

其中n[i]=在x和y中各选一条边，使得两条边之和为i有几种方案

这时得到的n并不好，包含了各种重复的方案。还得减一下

最后得到的n=[0 0 0 0 2 1 1 2 0]

然后对n做奇怪的操作。。。

先求前缀和，得到S

对于a[i].  我们假设a[i]是形成的三角形中最长的。这样就是在其余中选择两个和>a[i],而且长度不能大于a[i]的。（注意这里所谓的大于小于，不是说长度的大于小于，其实是排好序以后的，位置关系，这样就可以不用管长度相等的情况，排在a[i]前的就是小于的，后面的就是大于的）。

根据前面求得的结果。
长度和大于a[i]的取两个的取法是sum[len]-sum[a[i]].

但是这里面有不符合的。

一个是包含了取一大一小的
cnt -= (long long)(n--i)*i;

一个是包含了取一个本身i,然后取其它的
cnt -= (n-);

还有就是取两个都大于的了
cnt -= (long long)(n--i)*(n-i-)/;

Code：

 #include  <stdio.h>
 #include  <string.h>
 #include  <iostream>
 #include  <algorithm>
 #include  <math.h>
 using namespace  std;
 const double PI = acos(-1.0);
 #define LL long long
 #define MAXL 524230
 #define MAXN 100010

 //复数结构体
 struct  Complex
 {
     double x,y;//实部和虚部  x+yi
     Complex(double _x = ,double _y = )
     {
         x = _x;
         y = _y;
     }
     Complex operator -(const Complex &b)const
     {
         return  Complex(x-b.x,y-b.y);
     }
     Complex operator +(const Complex &b)const
     {
         return  Complex(x+b.x,y+b.y);
     }
     Complex operator *(const Complex &b)const
     {
         return  Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
     }
 };
 /*
 *进行FFT和IFFT前的反转变换。
 *位置i和（i二进制反转后位置）互换
 * len必须去2的幂
 */
 void change(Complex y[],int  len)
 {
     int  i,j,k;
     for(i = , j = len/; i <len-; i++)
     {
         if(i < j)swap(y[i],y[j]);
         //交换互为小标反转的元素，i<j保证交换一次
         //i做正常的+1，j左反转类型的+1,始终保持i和j是反转的
         k = len/;
         while(j >= k)
         {
             j -= k;
             k /= ;
         }
         if(j < k)j += k;
     }
 }
 /*
 *做FFT
 * len必须为2^k形式，
 * on==1时是DFT，on==-1时是IDFT
 */
 //fft(x,len,1):对向量x做DFT（时域->频域），向量长度为1--len
 //fft(x,len,-1):做IDFT（频域->时域）
 void fft(Complex y[],int len,int  on)
 {
     change(y,len);
     for(int h = ; h <= len; h <<= )
     {
         Complex wn(cos(-on**PI/h),sin(-on**PI/h));
         for(int j = ; j < len; j+=h)
         {
             Complex  w(,);
             for(int k = j; k < j+h/; k++)
             {
                 Complex u = y[k];
                 Complex t = w*y[k+h/];
                 y[k] = u+t;
                 y[k+h/] = u-t;
                 w = w*wn;
             }
         }
     }
     if(on == -)
         for(int i = ; i < len; i++)
             y[i].x /= len;
 }

 Complex x[MAXL];
 LL nx[MAXL],tri[MAXN],sx[MAXL],NUM[MAXL];
 int TIMES,N,tm;

 int main()
 {
     scanf("%d",&TIMES);
     for (int Times=;Times<=TIMES;Times++)
     {
         scanf("%d",&N);

         memset(nx,,sizeof(nx));
         memset(sx,,sizeof(sx));
         memset(x,,sizeof(x));
         memset(NUM,,sizeof(NUM));

         for (int i=;i<N;i++)
         {
             scanf("%d",&tri[i]);
             NUM[tri[i]]++;
         }

         sort(tri,tri+N);
         int mx=tri[N-];
         int l1=mx+;
         int len=;
         while (len<*l1) len<<=;
         for (int i=;i<l1;i++)
             x[i]=Complex(NUM[i],);
         for (int i=l1;i<len;i++)
             x[i]=Complex(,);

         fft(x,len,);

         for (int i=;i<len;i++)
             x[i]=x[i]*x[i];

         fft(x,len,-);
         for (int i=;i<len;i++)
             nx[i]=(LL)(x[i].x+0.5);

         len=*mx;
         for (int i=;i<N;i++)
             nx[tri[i]*]--;
         for (int i=;i<=len;i++)
             nx[i]=nx[i]/;
 /*
         for (int i=0;i<=len;i++)
             cout<<nx[i]<<" ";
         cout<<endl;
 */
         sx[]=;
         for (int i=;i<=len;i++)
             sx[i]=sx[i-]+nx[i];
 /*
         for (int i=0;i<=len;i++)
             cout<<sx[i]<<" ";
         cout<<endl;
 */
         LL tot=;
         for (int i=;i<N;i++)
         {
             tot+=sx[len]-sx[tri[i]];
             tot-=(LL)(N-i-)*i;
             tot-=(N-);
             tot-=(LL)(N--i)*(N-i-)/;
         }
         //cout<<tot<<endl;
         LL kk=(LL)(N*(N-)*(N-)/);
         //cout<<tot<<" "<<kk<<endl;
         printf("%.7lf\n",(double)tot/kk);
     }

     return ;
 }

ref：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/07/24/3210565.html