【BZOJ】3093: [Fdu校赛2012] A Famous Game

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3093

题意：n个球（红和蓝两种），等概率有1~n个红球。首先取出p个球且这p个球里边有q个红球，问从剩下的球里边取一个红球的概率（n<=100000）

#include <cstdio>
using namespace std;
int main() {
	int T=0, p, n, q;
	while(~scanf("%d%d%d", &n, &p, &q)) printf("Case %d: %.4f\n", ++T, (q+1.0)/(p+2.0));
	return 0;
}

　　

推完后公式能力大幅增长= =

感谢vfk的指导让我知道了一些关于高中课本的知识= =（haha我比小学森还差

感谢算法导论上概率论的知识

感谢××年××的关于概率论的一些论文....

感谢quartergeek的题解

感谢gyz的题解

然后好不容易推出了公式....最终化简极其漂亮...数学好美丽...

如果看不懂下边的公式，欢迎来问我！！！qq在右边！！

设$A$为下一个拿红球的事件，$B$为拿走了$p$个球其中有$q$个球是红球的事件，$C_k$为原袋子中有$k$个红球的事件

$$
\begin{align}
P(A|B)
& = \frac{ P(AB) }{ P(B) } \\
& = \frac{ \sum_{k=0}^{n} P(AB|C_k)P(C_k) }{ \sum_{k=0}^{n} P(B|C_k)P(C_k) }
\end{align}
$$

因为
$$
P(AB|C_k)
=
\frac{P(BC_k)}{P(C_k)}
\frac{P(ABC_k)}{P(BC_k)}
=
P(B|C_k)P(A|BC_k)
$$

所以
$$
\begin{align}
P(A|B)
& = \frac{ \sum_{k=0}^{n} P(AB|C_k)P(C_k) }{ \sum_{k=0}^{n} P(B|C_k)P(C_k) } \\
& = \frac{ \sum_{k=0}^{n} P(B|C_k)P(A|BC_k)P(C_k) }{ \sum_{k=0}^{n} P(B|C_k)P(C_k) } \\
\end{align}
$$

显然
$$
\begin{align}
P(A|BC_k) & = \frac{k-q}{n-p} \\
P(C_k) & = \frac{1}{n+1} \\
P(B|C_k) & = \frac{ \binom{k}{q} \binom{n-k}{p-q} }{ \binom{n}{p} }
\end{align}
$$

所以
$$
\begin{align}
P(A|B)
& = \frac{ \sum_{k=0}^{n} P(B|C_k)P(A|BC_k)P(C_k) }{ \sum_{k=0}^{n} P(B|C_k)P(C_k) } \\
& = \frac{ \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{q} \binom{n-k}{p-q} (k-q) }{ \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{q} \binom{n-k}{p-q} (n-p) } \\
& = \frac{ \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{q+1} \binom{n-k}{p-q} (q+1) }{ \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{q} \binom{n-k}{p-q} (n-p) } \\
& = \frac{q+1}{n-p} \frac{ \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{q+1} \binom{n-k}{(p+1)-(q+1)} }{ \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{q} \binom{n-k}{p-q} } \\
& = \frac{q+1}{n-p} \frac{ \binom{n+1}{p+2} }{ \binom{n+1}{p+1} } \\
& = \frac{q+1}{p+2}
\end{align}
$$

哦，关于$\binom{n+1}{p+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{q} \binom{n-k}{p-q}$窝来解释一下...

考虑$p+1$个球放在$n+1$个格子中，那么等价于枚举第$q+1$个球放的格子$k+1$，则前面有$k$个格子，后面则有$n-k$个格子。那么前面有$q$个球方案数为$\binom{k}{q}$，后面有$p-q$个球的方案数为$\binom{n-k}{p-q}$。乘起来即可。