NOI 题库 7624

7624  山区建小学

描述

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出

18

———————————————————分割线——————————————————

Solution : 

令 f ( i , j ) 表示前i个村庄修建j个小学的距离之和的最小值。

状态的转移：

f ( i , j ) = f ( k , j - 1 ) + k 到 j修建 1 个小学最小距离和。

那么，怎么快速的求解k 到 j 的最小距离和???

不难猜到 ， k 和 j 的中点就是最短的距离。

详细证明在刘汝佳蓝书。

核心DP方程：

f ( i , j ) = min { f ( i , j )  , f ( k , j - 1 ) + cost ( k + 1 , j ) }

 #include "bits/stdc++.h" 

 using namespace std ;
 const int INF =  ;
 const int maxN = 1e3 ;

 int d [ maxN ] , f [ maxN ][ maxN ] , cost[ maxN ][ maxN ] ;

 int gmin ( int x , int y ) { return x > y ? y : x ; }

 inline int INPUT ( ) {
         int x =  , F =  ; char ch = getchar ( ) ;
         while ( ch < '' || '' < ch ) { if ( ch == '-' ) F = - ; ch = getchar ( ) ; }
         while ( '' <= ch && ch <= '' ) { x = ( x <<  ) + ( x <<  ) + ch - '' ; ch = getchar ( ) ; }
         return x * F ;
 }

 void calc ( int M ) {//计算cost[ i ][ j ] ，即 i 到 j 修建 1 个小学最小距离和。
         for ( int i= ;i<=M ; ++i ) {
                 for ( int j=i+ ; j<=M ; ++j ){
                         int Dis =  ;
                         int mid = ( i + j ) >>  ;
                         for ( int k=i ; k<mid ; ++k )Dis += d[mid] - d[k] ;
                         for ( int k=mid+ ; k<=j ; ++k )Dis += d[k] - d[mid] ;
                         cost[ i ][ j ] = Dis ;
                 }
         }
 }

 void Init_2 ( int N , int M ) {
         for ( int i= ; i<=M ; ++i ) {
                 for ( int j= ; j<=N ; ++j ) {
                         if ( j== ) f[ i ][ j ] = cost[  ][ i ] ;
                         else f[ i ][ j ] = INF ;
                 }
         }
 }
 void Init_1 ( int M ) {
         for ( int i= ; i<=M; ++i )
                 for ( int j=i+ ; j<=M; ++j )
                         cost[ i ][ j ] = INF ;
 }

 int main ( ) {
         int M = INPUT ( ) , N = INPUT ( ) ;
         for ( int i= ; i<=M ; ++i )
                 d[ i ] = d[ i -  ] + INPUT ( ) ;
         Init_1( M ) ;
         calc ( M ) ;
         Init_2 ( N , M ) ;
         for ( int i= ; i<=M ; ++i ) {
                 for ( int j= ; j<=N ; ++j ) {
                         for ( int k= ; k<i ; ++k ){
                                 f[ i ][ j ] = gmin ( f[ i ][ j ] , f[ k ][ j -  ] + cost[ k +  ][ i ] ) ;
                         }
                 }
         }
         printf ( "%d\n" , f[ M ][ N ] ) ;
         return  ;
 }

2016-10-20 19:15:13

(完)