【LeetCode】300.最长递增子序列——暴力递归（O(n^3)），动态规划（O(n^2)），动态规划+二分法（O(nlogn)）

　　算法新手，刷力扣遇到这题，搞了半天终于搞懂了，来这记录一下，欢迎大家交流指点。

题目描述：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

解法一：暴力递归

　　不解释，先暴力搞一下。（时间复杂度O(n^3)，不行）

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int l(vector<int>& nums) { // 返回以nums[0]开头的最长递增序列长度
 4         if (nums.size() < 2)
 5             return nums.size();
 6         int max_len = 1;
 7         for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i)
 8             if (nums[i] > nums[0]) {
 9                 vector<int> t{nums.begin() + i, nums.end()};
10                 max_len = max(max_len, l(t) + 1);
11             }
12         return max_len;
13     }
14     int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { // 所有序列遍历一遍
15         int max_len = 1;
16         for (i = 0; i < nums.size(); ++ i) {
17             vector<int> t(nums.begin() + i, nums.end());
18             max_len = max(max_len, l(t));
19         }
20         return max_len;
21     }
22 };

　　小优化一下，记忆化搜索。（还是不行，时间复杂度还是太高）

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int l(unordered_map<int, int>& map, vector<int>& nums) {
 4         if (nums.size() < 2)
 5             return nums.size();
 6         if (map.find(nums[0]) != map.end()) // 如果已经知道了以某个数开头的元素的最长序列数，直接返回
 7             return map[nums[0]];
 8         int max_len = 1;
 9         for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i)
10             if (nums[i] > nums[0]) {
11                 vector<int> t{nums.begin() + i, nums.end()};
12                 max_len = max(max_len, l(map, t) + 1);
13             }
14         map[nums[0]] = max_len; // 记录以某个数开头的最长递增序列长度
15         return max_len;
16     }
17     int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
18         int max_len = 1;
19         unordered_map<int, int> map; // 哈希表，<开头的数，最长递归序列长度>
20         for (int i = 0; i < nums.size(); ++ i) {
21             vector<int> t(nums.begin() + i, nums.end());
22             max_len = max(max_len, l(map, t));
23         }
24         return max_len;
25     }
26 };

解法二：动态规划

　　看来暴力是不行滴，还得动态规划。（时间复杂度O(n^2)，AC了）

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
 4         vector<int> dp(nums.size(), 0); // 记录以nums[i]为结尾的最长递增子序列长度
 5         for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i)
 6             for (int j = 0; j < i; ++ j) // 找一个最长的递增序列，接到它后面
 7                 if (nums[j] < nums[i])
 8                     dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
 9         return *max_element(dp.begin(), dp.end()) + 1;
10     }
11 };

解法三：动态规划 + 二分查找

　　动态规划方法是可行的，但是O(n^2)的时间复杂度还是较高，使用二分查找方法可以进一步优化。（时间复杂度O(nlogn)，大提升）

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
 4         vector<int> dp(1, *nums.begin()); // 维护一个数组，用来存放最长的递增子序列
 5         int left = 0, right = 0, mid = 0;
 6         for (int i = 1; i < nums.size(); ++ i) { // 遍历一遍nums寻找每个元素在最长子序列中的插入位置
 7             if (nums[i] > *(dp.end() - 1)) { // 如果当前元素比序列中所有元素都大，直接插到末尾
 8                 dp.push_back(nums[i]);
 9                 continue;
10             }
11             left = -1;　　　　　　　　　　　　　　// 否则的话，替换掉序列中第一个大于等于它的元素，这样可以保证得到最长的递增序列
12             right = dp.size();
13             while (left + 1 != right) {
14                 mid = (left + right) / 2;
15                 if (dp[mid] >= nums[i])
16                     right = mid;
17                 else
18                     left = mid;
19             }
20             dp[right] = nums[i];
21         }
22         return dp.size();
23     }
24 };