loj548 「LibreOJ β Round #7」某少女附中的体育课

这道题好神啊！！！

发现这题就是定义了一种新的卷积，然后做k+1次卷积。

这里我们就考虑构造一个变换T，使得$T(a) \cdot T(b) =T(a∘b)$，这里是让向量右乘这个转移矩阵。

于是我们可以得到

$$\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}  \sum{[k ∘ l =j] a_{k} b_{l}}  }   = (\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}a_{j}}) \cdot  (\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}b_{j}})$$

$$\sum{T_{k∘l,i}{a_{k}b_{l}}}= \sum{T_{k,i}T_{l,i}a_{k} b_{l}}$$

设x为T的某一列向量，这个变换满足的条件就是$x_{j}x_{k}=x_{j∘k}$

又因为循环律，设$c_{i}$为$i$的周期长度，我们发现$x_{i^{c_{i}}}=x_{i}^{c_{i}}=x_{i}$，所以$x_{i}=w_{c_{i}}^{k} or 0$。

之后我们发现合法的情况只有n种，考虑暴搜变换然后加上上面那个减枝就可以了。

然后我们就得到了我们要求的变换，然后就像fwt一样每一维依次进行变换就可以了。

正解依旧没有看懂，我的理解就是按照$x^{0}$分成若干个等价类，对于每个等价类内dft构造出一个其中若干个变换，然后在将每个小变换扩展全部，但是具体的怎么dft以及如何扩展的我还不是特别明白，所以先挖个大坑吧。其实我觉得这种需要构造变换的题暴搜都是可以碾压正解的，因为暴搜加减枝的复杂度真的很优秀。

最后，LCA太神啦！

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #define mod 232792561
 #define N 500500
 #define M 25
 using namespace std;
 int rt=,n,m,all,f[N],tmp[N];
 int A[M][M],a[M],cnt[M],tot,w[M][M],C[M][M],D[M][M];
 long long K;
 int qp(int a,int b){
     int c=;
     for(;b;b>>=,a=1ll*a*a%mod)
         if(b&)c=1ll*c*a%mod;
     return c;
 }
 void UPD(int &a,int b){
     a=(a+b>=mod)?(a+b-mod):(a+b);
 }
 bool can(int x){
     for(int i=;i<=x;i++)
         for(int j=;j<=x;j++)
             if(A[i][j]<=x&&1ll*a[i]*a[j]%mod!=a[A[i][j]])return ;
     return ;
 }
 void dfs(int x){
     if(tot==m)return ;
     if(x==m){
         bool flag=;
         for(int i=;i<m;i++)if(a[i])
             {flag=;break;}
         if(!flag)return ;
         for(int i=;i<m;i++)C[i][tot]=a[i];
         tot++;
         return ;
     }
     for(int i=;i<=cnt[x];i++){
         a[x]=w[cnt[x]][i];
         if(can(x))dfs(x+);
     }
 }
 void getni(){
     for(int i=;i<m;i++)D[i][i]=;
     for(int k=;k<m;k++){
         if(!C[k][k]){
             for(int i=k+;i<m;i++)if(C[i][k]){
                 for(int j=;j<m;j++){
                     swap(C[k][j],C[i][j]);
                     swap(D[k][j],D[i][j]);
                 }
             }
         }
         int inv=qp(C[k][k],mod-);
         for(int i=;i<m;i++){
             C[k][i]=1ll*C[k][i]*inv%mod;
             D[k][i]=1ll*D[k][i]*inv%mod;
         }
         for(int i=;i<m;i++)if(i!=k&&C[i][k]){
             int t=C[i][k];
             for(int j=;j<m;j++){
                 UPD(C[i][j],mod-1ll*t*C[k][j]%mod);
                 UPD(D[i][j],mod-1ll*t*D[k][j]%mod);
             }
         }
     }
 }
 void dft(int n,int *f,int C[M][M]){
     if(n==)return ;
     int l=n/m;
     for(int i=;i<m;i++)dft(l,f+i*l,C);
     for(int i=;i<n;i++)tmp[i]=;
     for(int i=;i<m;i++)
         for(int j=;j<m;j++)
             for(int k=;k<l;k++)
                 UPD(tmp[j*l+k],1ll*f[i*l+k]*C[i][j]%mod);
     for(int i=;i<n;i++)
         f[i]=tmp[i];
 }
 int main(){
 //freopen("test.in","r",stdin);
     for(int i=,now;i<=;i++){
         w[i][]=;
         now=qp(rt,(mod-)/i);
         for(int j=;j<i;j++)
             w[i][j]=1ll*w[i][j-]*now%mod;
     }
     scanf("%d%d%lld",&n,&m,&K);
     K=(K+)%(mod-);
     for(int i=;i<m;i++)
         for(int j=;j<m;j++)
             scanf("%d",&A[i][j]);
     for(int i=;i<m;i++){
         int now=i;
         do{
             cnt[i]++;
             now=A[now][i];
         }while(now!=i);
     }
     dfs();
     all=qp(m,n);
     for(int i=;i<all;i++)scanf("%d",&f[i]);
     dft(all,f,C);
     for(int i=;i<all;i++)f[i]=qp(f[i],K);
     getni();
     dft(all,f,D);
     for(int i=;i<all;i++)printf("%d\n",f[i]);
     return ;
 }