[LeetCode] Matchsticks to Square 火柴棍组成正方形

Remember the story of Little Match Girl? By now, you know exactly what matchsticks the little match girl has, please find out a way you can make one square by using up all those matchsticks. You should not break any stick, but you can link them up, and each matchstick must be used exactly one time.

Your input will be several matchsticks the girl has, represented with their stick length. Your output will either be true or false, to represent whether you could make one square using all the matchsticks the little match girl has.

Example 1:

Input: [1,1,2,2,2]
Output: true

Explanation: You can form a square with length 2, one side of the square came two sticks with length 1.

Example 2:

Input: [3,3,3,3,4]
Output: false

Explanation: You cannot find a way to form a square with all the matchsticks.

Note:

1. The length sum of the given matchsticks is in the range of 0 to 10^9.
2. The length of the given matchstick array will not exceed 15.

我已经服了LeetCode了，连卖火柴的小女孩也能改编成题目，还能不能愉快的玩耍了，坐等灰姑娘，丑小鸭的改编题了。好了，言归正传，这道题让我们用数组中的数字来摆出一个正方形。跟之前有道题Partition Equal Subset Sum有点像，那道题问我们能不能将一个数组分成和相等的两个子数组，而这道题实际上是让我们将一个数组分成四个和相等的子数组。我一开始尝试着用那题的解法来做，首先来判断数组之和是否是4的倍数，然后还是找能否分成和相等的两个子数组，但是在遍历的时候加上判断如果数组中某一个数字大于一条边的长度时返回false。最后我们同时检查dp数组中一条边长度位置上的值跟两倍多一条边长度位置上的值是否为true，这种方法不幸TLE了。所以只能上论坛求助各路大神了，发现了可以用优化过的递归来解，递归的方法基本上等于brute force，但是C++版本的直接递归没法通过OJ，而是要先给数组从大到小的顺序排序，这样大的数字先加，如果超过target了，就直接跳过了后面的再次调用递归的操作，效率会提高不少，所以会通过OJ。下面来看代码，我们建立一个长度为4的数组sums来保存每个边的长度和，我们希望每条边都等于target，数组总和的四分之一。然后我们遍历sums中的每条边，我们判断如果加上数组中的当前数字大于target，那么我们跳过，如果没有，我们就加上这个数字，然后对数组中下一个位置调用递归，如果返回为真，我们返回true，否则我们再从sums中对应位置将这个数字减去继续循环，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    bool makesquare(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty() || nums.size() < ) return false;
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), );
        if (sum %  != ) return false;
        vector<int> sums(, );
        sort(nums.rbegin(), nums.rend());
        return helper(nums, sums, , sum / );
    }
    bool helper(vector<int>& nums, vector<int>& sums, int pos, int target) {
        if (pos >= nums.size()) {
            return sums[] == target && sums[] == target && sums[] == target;
        }
        for (int i = ; i < ; ++i) {
            if (sums[i] + nums[pos] > target) continue;
            sums[i] += nums[pos];
            if (helper(nums, sums, pos + , target)) return true;
            sums[i] -= nums[pos];
        }
        return false;
    }
};

其实这题还有迭代的方法，很巧妙的利用到了位操作的特性，前面的基本求和跟判断还是一样，然后建立一个变量all，初始化为(1 << n) - 1，这是什么意思呢，all其实是一个mask，数组中有多少个数字，all就有多少个1，表示全选所有的数字，然后变量target表示一条边的长度。我们建立两个一位向量masks和validHalf，其中masks保存和target相等的几个数字位置的mask，validHalf保存某个mask是否是总和的一半。然后我们从0遍历到all，实际上就是遍历所有子数组，然后我们根据mask来计算出子数组的和，注意这里用了15，而不是32，因为题目中说了数组元素个数不会超过15个。我们算出的子数组之和如果等于一条边的长度target，我们遍历masks数组中其他等于target的子数组，如果两个mask相与不为0，说明有公用的数字，直接跳过；否则将两个mask或起来，说明我们当前选的数字之和为数组总和的一半，更新validHalf的对应位置，然后我们通过all取出所有剩下的数组，并在validHalf里查找，如果也为true，说明我们成功的找到了四条边，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    bool makesquare(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty() || nums.size() < ) return false;
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), );
        if (sum %  != ) return false;
        int n = nums.size(), all = ( << n) - , target = sum / ;
        vector<int> masks, validHalf( << n, false);
        for (int i = ; i <= all; ++i) {
            int curSum = ;
            for (int j = ; j <= ; ++j) {
                if ((i >> j) & ) curSum += nums[j];
            }
            if (curSum == target) {
                for (int mask : masks) {
                    if ((mask & i) != ) continue;
                    int half = mask | i;
                    validHalf[half] = true;
                    if (validHalf[all ^ half]) return true;
                }
                masks.push_back(i);
            }
        }
        return false;
    }
};

类似题目：

Partition Equal Subset Sum

参考资料：

https://discuss.leetcode.com/topic/72107/java-dfs-solution-with-explanation

https://discuss.leetcode.com/topic/72232/c-bit-masking-dp-solution-with-detailed-comments

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