【LOJ6482】LJJ 爱数数 数论

题目大意

　　给你 \(n\)，求

\[\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}][\gcd(a,b,c)=1]\\
\]

　　\(n\leq {10}^{12}\)

题解

\[\begin{align}
&\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}][\gcd(a,b,c)=1]\\
=&\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n[c(a+b)=ab][\gcd(a,b,c)=1]\\
=&\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n[(a+b)\mid ab][\gcd(a,b,c)=1]\\
\end{align}
\]

　　通过打表可以发现，一对数 \(a,b(a\leq b)\) 满足条件的充要条件是 \(b\leq n\) 且 \(\frac{a}{\gcd(a,b)}+\frac{b}{\gcd(a,b)}=\gcd(a,b)\)

　　证明：

　　若 \(\gcd(a,b)=1\)，则 \(\gcd(a+b,ab)=1\)

　　记 \(g=\gcd(a,b),a=ga',b=gb'\)，则

\[a+b=g(a'+b')\\
ab=g^2a'b'\\
\frac{ab}{a+b}=\frac{g^2a'b'}{g(a'+b')}=\frac{ga'b'}{a'+b'}\\
\]

　　所以 \((a'+b')\mid g\)

　　若 \(a'+b'\neq g\)，则 \(\gcd(a,b,c)=\frac{g}{a'+b'}\)，所以 \(a'+b'=g\) 所以 \(a=a'(a'+b'),b=b'(a'+b'),c=a'b'\)

解法一

　　记 \(x=a',y=b'\)

\[\begin{align}
ans&=\sum_{x=1}^n\sum_{y=x}^n[xy+y^2\leq n]\gcd(x,y)=1\\
&=\sum_{d=1}^\sqrt{n}\mu(d)\sum_{x=1}\sum_{y=x}[xy+y^2\leq \frac{n}{d^2}]\\
&=\sum_{d=1}^\sqrt{n}\mu(d)\sum_{y=1}\min\left(\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{n}{d^2}\right\rfloor-y^2}{y}\right\rfloor,y\right)
\end{align}
\]

　　时间复杂度：\(O(\sqrt n\log n)\)

解法二

　　\(a+b=g^2\)

　　枚举 \(g\)，那么 \(\gcd(g,a')=1\)

　　当 \(g\) 比较小的时候 \((1\leq g\leq \sqrt n)\)，\(a'\) 有 \(\varphi(g)\) 种取值，可以直接筛

　　当 \(g\) 比较大的时候 \((\sqrt n<g<\sqrt{2n})\)，

\[\sum_{i=1}^\frac{n}{g}[\gcd(g,i)=1]\\
=\sum_{d\mid g}\mu(d)\lfloor\frac{n}{gd}\rfloor
\]

　　可以暴力枚举因子。

　　时间复杂度：\(O(\sqrt n\log n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int check(int x,int y)
{
	return x*y%(x+y)==0;
}
const int N=1000010;
int b[N];
int pri[N];
int miu[N];
int cnt;
int main()
{
//	open("loj6482");
	ll n;
	scanf("%lld",&n);
	miu[1]=1;
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
	{
		if(!b[i])
		{
			pri[++cnt]=i;
			miu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=1000000;j++)
		{
			b[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
				break;
			miu[i*pri[j]]=-miu[i];
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;(ll)i*i<=n;i++)
		if(miu[i])
		{
			ll s=0;
			for(int j=1;;j++)
			{
				int z=min((n/i/i-(ll)j*j)/j,(ll)j);
				if(z<=0)
					break;
				s+=z;
			}
			ans+=miu[i]*s;
		}
	ans=ans*2-1;
	printf("%lld\n",ans);
//	int ans=0;
//	for(int i=1;i<=n;i++)
//		for(int j=1;j<=n;j++)
//			if(gcd(i,j)==1&&i*(i+j)<=n&&j*(i+j)<=n)
//				ans++;
//	printf("%d\n",ans);
//	return 0;
//	int n=1000;
//	for(int i=1;i<=n;i++)
//		for(int j=i;j<=n;j++)
//			if(gcd(i,j)==1&&check(i*(i+j),j*(i+j))&&gcd(gcd(i*(i+j),j*(i+j)),i*j)==1)
//				if(j*(i+j)<=n)
//					printf("%d %d %d\n",i*(i+j),j*(i+j),i*j);
//	return 0;
//	for(int i=1;i<=n;i++)
//		for(int j=i;j<=n;j++)
//			if(i*j%(i+j)==0)
//			{
//				int z=i*j/(i+j);
//				if(gcd(gcd(i,j),z)==1)
//					printf("%d %d %d %d %d %d\n",i,j,z,gcd(i,j),i/gcd(i,j),j/gcd(i,j));
//			}
//	return 0;
}