AtCoder ABC 129E Sum Equals Xor

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc129/tasks/abc129_e

题目大意

　　给定一个二进制表示的数 L，问有多少对自然数 (a, b) 满足 $a + b \leq L 且 a + b = a \oplus b $。

分析

　　由于异或是无进位相加，所以 $a + b = a \oplus b $ 等价于 a 和 b 的每一位对应二进制位都不会是两个 1。

　　设 L 有 n 个 1。按 L 中的顺序编号为 n~1。

　　设 L(i) 为编号为 i 的 1 到 L 末尾所形成的子串。

　　设 Ans(i) 为 L(i) 包含的自然数对数。

　　a + b 有以下两种情况：

1. a + b 的最高位和 L(i) 的最高位一样都是 1：那么 a 和 b 在 i 号 1 和 i + 1 号 1 之间的对应位置上必然全为 0，因此答案取决于 Ans(i - 1)，而由于 a 和 b 可以互换，因此这部分贡献为 2 * Ans(i - 1)，为方便计算可设 Ans(0) = 1。
2. a + b 的最高位是 0 (相对于 L(i) 的最高位)：那么 a 和 b 剩下的二进制位就没有限制了，每个 a, b 的二进制位都可以有 (0, 0), (0, 1), (1, 0) 三种情况，因此，总贡献为 $3^{L(i).size() - 1}$。

代码如下

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)

 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl

 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))

 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
 #define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
 #define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // 删去 x 中所有 c
 #define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
 #define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);

 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

 #define MP make_pair
 #define PB push_back
 #define ft first
 #define sd second

 template<typename T1, typename T2>
 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     in >> p.first >> p.second;
     return in;
 }

 template<typename T>
 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     for (auto &x: v)
         in >> x;
     return in;
 }

 template<typename T1, typename T2>
 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
     return out;
 }

 inline int gc(){
     static const int BUF = 1e7;
     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;

     if(bg == ed) fread(bg = buf, , BUF, stdin);
     return *bg++;
 } 

 inline int ri(){
     int x = , f = , c = gc();
     for(; c<||c>; f = c=='-'?-:f, c=gc());
     for(; c>&&c<; x = x* + c - , c=gc());
     return x*f;
 }

 template<class T>
 inline string toString(T x) {
     ostringstream sout;
     sout << x;
     return sout.str();
 }

 inline int toInt(string s) {
     int v;
     istringstream sin(s);
     sin >> v;
     return v;
 }

 //min <= aim <= max
 template<typename T>
 inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
     return min <= aim && aim <= max;
 }

 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long uLL;
 typedef pair< double, double > PDD;
 typedef pair< int, int > PII;
 typedef pair< int, PII > PIPII;
 typedef pair< string, int > PSI;
 typedef pair< int, PSI > PIPSI;
 typedef set< int > SI;
 typedef set< PII > SPII;
 typedef vector< int > VI;
 typedef vector< double > VD;
 typedef vector< VI > VVI;
 typedef vector< SI > VSI;
 typedef vector< PII > VPII;
 typedef map< int, int > MII;
 typedef map< int, string > MIS;
 typedef map< int, PII > MIPII;
 typedef map< PII, int > MPIII;
 typedef map< string, int > MSI;
 typedef map< string, string > MSS;
 typedef map< PII, string > MPIIS;
 typedef map< PII, PII > MPIIPII;
 typedef multimap< int, int > MMII;
 typedef multimap< string, int > MMSI;
 //typedef unordered_map< int, int > uMII;
 typedef pair< LL, LL > PLL;
 typedef vector< LL > VL;
 typedef vector< VL > VVL;
 typedef priority_queue< int > PQIMax;
 typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
 const double EPS = 1e-;
 const LL inf = 0x7fffffff;
 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
 const LL mod = 1e9 + ;
 const int maxN = 1e5 + ;
 const LL ONE = ;
 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
 const LL oddBits = 0x5555555555555555;

 string L;
 LL ans = ;

 void mul_mod(LL &x, LL y) {
     x = (x * y) % mod;
 }

 void add_mod(LL &x, LL y) {
     x = (x + y) % mod;
 }

 LL pow_mod(LL x, LL y) {
     LL ret = ;
     while(y) {
         if(y & ) mul_mod(ret, x);
         mul_mod(x, x);
         y >>= ;
     }
     return ret;
 } 

 int main(){
     //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     //INIT();
     cin >> L;
     rFor(i, L.size() - , ) {
         if(L[i] == '') {
             mul_mod(ans, );
             add_mod(ans, pow_mod(, L.size() - i - ));
         }
     }
     cout << ans << endl;
     return ;
 }