UVA 1625 "Color Length" （基础DP）

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•参考资料

　　[1]:HopeForBetter

•题意

　　

•题解（by 紫书）

　　

•我的理解

　　用了一上午的时间，参考紫书+上述博文，终于解决了疑惑；

　　定义第一个颜色序列用串 s 表示，第二个用串 t 表示，下标均从 1 开始；

　　定义dp(i,j)表示串 s 的前 i 个字符与串 t 的前 j 个字符合并的最小值；

　　

　　' ? ' 是加什么呢？

　　分析一下，当前的新序列包含哪些类型的字符：

　　1)当前新序列包含字符 ch 的开始和结束；

　　2)当前新序列只包含字符 ch 的开始，而不包含其结束；

　　3)当前新序列不包含字符 ch；

　　就情况①，将 s_i 插入到尾部后，你会发现，这个新插入的元素只会影响 1) 类型字符，怎么影响呢？

　　当前字符 si 的插入会使得 1) 类型的字符首尾距离增加 1；

　　那么，情况①中的 ' ? ' 指的就是 s 串的前 i-1 个字符与 t 串中的前 j 个字符的 1) 类型的字符个数；

　　情况②同理；

　　那么，如何求解 "s 串的前 i-1 个字符与 t 串中的前 j 个字符的 1) 类型的字符个数" 呢？

　　定义 w(i,j) 表示串 s 的前 i 个字符与串 t 的前 j 个字符包含的 1) 类型的字符总个数；

 struct Data
 {
     int fir,las;
     Data(int fir=INF,int las=):fir(fir),las(las){}
 };
 int w[maxn][maxn];

 void Preset()
 {
     /**
         a[i].fir:字符 'A'+i 在串s中第一次出现的位置
         a[i].las:字符 'A'+i 在串s中最后一次出现的位置
         b[i].fir:字符 'A'+i 在串t中第一次出现的位置
         b[i].las:字符 'A'+i 在串t中最后一次出现的位置
     */
     Data a[],b[];
     for(int i=;i <= n;++i)
     {
         Data &tmp=a[s[i]-'A'];
         tmp.fir=min(tmp.fir,i);
         tmp.las=i;
     }
     for(int i=;i <= m;++i)
     {
         Data &tmp=b[t[i]-'A'];
         tmp.fir=min(tmp.fir,i);
         tmp.las=i;
     }
     w[][]=;
     for(int i=;i <= n;++i)
     {
         for(int j=;j <= m;++j)
         {
             if(i)
             {
                 w[i][j]=w[i-][j];
                 int k=s[i]-'A';
                 if(a[k].fir == i && b[k].fir > j)///判断si是否为首次出现的
                     w[i][j]++;
                 if(a[k].las == i && b[k].las <= j)///判断si是否为结尾字符
                     w[i][j]--;
             }
             if(j)
             {
                 w[i][j]=w[i][j-];
                 int k=t[j]-'A';
                 if(b[k].fir == j && a[k].fir > i)///判断tj是否为首次出现的
                     w[i][j]++;
                 if(b[k].las == j && a[k].las <= i)///判断tj是否为结尾字符
                     w[i][j]--;
             }
         }
     }
 }

求解w(i,j)

　　求解完 w(i,j) 后，状态转移方程也就完成了：

　　

•Code

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define INFll 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
 #define ll long long
 const int maxn=5e3+;

 int n,m;
 char s[maxn];
 char t[maxn];
 struct Data
 {
     int fir,las;
     Data(int fir=INF,int las=):fir(fir),las(las){}
 };
 int w[maxn][maxn];
 ll dp[maxn][maxn];

 void Preset()
 {
     /**
         a[i].fir:字符 'A'+i 在串s中第一次出现的位置
         a[i].las:字符 'A'+i 在串s中最后一次出现的位置
         b[i].fir:字符 'A'+i 在串t中第一次出现的位置
         b[i].las:字符 'A'+i 在串t中最后一次出现的位置
     */
     Data a[],b[];
     for(int i=;i <= n;++i)
     {
         Data &tmp=a[s[i]-'A'];
         tmp.fir=min(tmp.fir,i);
         tmp.las=i;
     }
     for(int i=;i <= m;++i)
     {
         Data &tmp=b[t[i]-'A'];
         tmp.fir=min(tmp.fir,i);
         tmp.las=i;
     }
     w[][]=;
     for(int i=;i <= n;++i)
     {
         for(int j=;j <= m;++j)
         {
             if(i)
             {
                 w[i][j]=w[i-][j];
                 int k=s[i]-'A';
                 if(a[k].fir == i && b[k].fir > j)///判断si是否为首次出现的
                     w[i][j]++;
                 if(a[k].las == i && b[k].las <= j)///判断si是否为结尾字符
                     w[i][j]--;
             }
             if(j)
             {
                 w[i][j]=w[i][j-];
                 int k=t[j]-'A';
                 if(b[k].fir == j && a[k].fir > i)///判断tj是否为首次出现的
                     w[i][j]++;
                 if(b[k].las == j && a[k].las <= i)///判断tj是否为结尾字符
                     w[i][j]--;
             }
         }
     }
 }
 ll Solve()
 {
     Preset();
     dp[][]=;
     for(int i=;i <= n;++i)
     {
         for(int j=;j <= m;++j)
         {
             if(!(i+j))
                 continue;
             dp[i][j]=INFll;

             if(i)
                 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-][j]+w[i-][j]);
             if(j)
                 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-]+w[i][j-]);
         }
     }
     return dp[n][m];
 }
 int main()
 {
     int test;
     scanf("%d",&test);
     while(test--)
     {
         scanf("%s%s",s+,t+);
         n=strlen(s+);
         m=strlen(t+);

         printf("%lld\n",Solve());
     }
     return ;
 }