Codeforces Round #379 (Div. 2) F. Anton and School

题意：
给你n对 b[i], c[i], 让你求a[i]，不存在输出-1
b[i] = (a[i] and a[1]) + (a[i] and a[2]) + (a[i] and a[3]) +...+ (a[i] and a[n]);
c[i] = (a[i] or a[1]) + (a[i] or a[2]) + (a[i] or a[3]) +...+ (a[i] or a[n]);
and 和 or 是按位与 或

思路：
（a and b） + (a or b) = (a + b) 证明显然
所以把每个b[i]+c[i] = n*a[i] + s, s为所有a的和
这样 就可以解出每个 a[i]了，且解唯一，证明比较显然

但是，解出的解不一定就是正确解！
为什么会这样呢？
因为解方程的时候 把b[i] c[i]看成了一个整体。
也就是他们的和是满足的，但是他们自身可能不满足。
举个例子：n = 1, b[0] = 3, c[0] = 5;
发现用上面的方法是有解的 a[0] = 4， 但是很显然，这个也并不合法

所有我们需要检测每一个b，c是否合法。
n那么大，暴力n方肯定是不行了。
我们要这样操作：
用A[i][j]表示 a[i]的第j位是否为1，顺便求出k[j]，k[j]表示所有a中的第j位有多少个1 处理的时间复杂度O(n*logv)
再求出B[i][j], C[i][j]
B[i][j] = (A[1][j] and A[i][j]) + (A[2][j] and A[i][j]) + ... + (A[n][j] and A[i][j]);
C[i][j] = (A[1][j] or A[i][j]) + (A[2][j] or A[i][j]) + ... + (A[n][j] or A[i][j]);
这个不用暴力求，因为我们刚刚已经求出了k[j]
显然地，有下面的式子：
if A[i][j] = 0: B[i][j] = 0, C[i][j] = k[j]
else B[i][j] = k[j], C[i][j] = n

有了B C后我们就能很快的求出b, c了
b[i] = B[i][0]*2^0 + B[i][1]*2^1 + ...
c[i] = C[i][0]*2^0 + C[i][1]*2^1 + ...

最终的时间复杂度O(n*logv), v=max(a1,a2,..,an)

具体代码如下：

 const int maxn =  + ;
 LL b[maxn], c[maxn], a[maxn];
 LL A[maxn][], B[maxn][], C[maxn][], k[maxn];
 LL s;
 int n;

 void init()
 {
     scanf("%d", &n);
     for (int i = ; i < n; i ++) scanf("%lld", b + i);
     for (int i = ; i < n; i ++) scanf("%lld", c + i);
 }

 bool check() //返回求出的答案是否合法
 {
     for (int j = ; j < ; j++)
     {
         for (int i = ; i < n; i++)
         {
             A[i][j] = a[i] & (1ll << j) ?  : ;
             k[j] += A[i][j];
         }
     }
     for (int j = ; j < ; j++)
     {
         for (int i = ; i < n; i++)
         {
             if (A[i][j])
             {
                 B[i][j] = k[j];
                 C[i][j] = n;
             }
             else
             {
                    B[i][j] = ;
                 C[i][j] = k[j];
             }
         }
     }

     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         LL sumB = , sumC = ;
         for (int j = ; j < ; j++)
         {
             sumB += B[i][j] * (1ll << j);
             sumC += C[i][j] * (1ll << j);
         }
         if (sumB != b[i] || sumC != c[i]) return false;
     }
     return true;
 }

 void solve()
 {
     bool ans = true;
     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         s += b[i] + c[i];
     }
     if (s % ( * n)) ans = false;
     s /=  * n;
     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         a[i] = (b[i] + c[i] - s) / n;
         if ((b[i] + c[i] - s) % n) ans = false;
     }
     if (!ans || !check()) printf("-1\n");
     else
     {
         for (int i = ; i < n;i ++)
         {
             printf("%lld ", a[i]);
         }
     }
 }

 int main()
 {
     init();
     solve();
     return ;
 }