BZOJ3328: PYXFIB

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3328

题解：关键在于只处理i%k的项，那么我们就需要用一个式子来表达这个东西。

p%k==1.会让我们想到NTT的w=power(g,(p-1)/k)。而w的性质就是w^i=1%p当且仅当i%k=0。g是p的一个原根。

所以sigma（w^i）（0<=i<k)=0

然后我们构造一个A[x]=x^(-n)*(I*x+T)^n  其中I是单位矩阵，T是fib矩阵。

然后做A[W^0],A[W^-1]……A[W^-K+1]求和左上角就是K*ans。

因为sigma（w^ij）（0<=i<k)=k[j%k==0]

构造技巧实在太科幻，不愧是业界毒瘤出的题。

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<vector>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<string>
 #define inf 1000000000
 #define maxn 10000+5
 #define maxm 10000000
 #define eps 1e-10
 #define ll long long
 #define pa pair<int,int>
 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
 #define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)
 #define lch t[k].l,l,mid
 #define rch t[k].r,mid+1,r
 using namespace std;
 inline ll read()
 {
     ll x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 struct matrix
 {
     int d[][];
 };
 matrix A,I,T,ans;
 ll n;
 int p,k,g,w,pr[maxn];
 inline void print(matrix a)
 {
     for1(i,)for1(j,)printf("%d%c",a.d[i][j],j==?'\n':' ');
 }
 matrix operator *(matrix a,matrix b)
 {
     matrix c=A;
     for1(i,)for1(j,)for1(k,)(c.d[i][j]+=(ll)a.d[i][k]*b.d[k][j]%p)%p;
     return c;
 }
 matrix operator +(matrix a,matrix b)
 {
     matrix c;
     for1(i,)for1(j,)c.d[i][j]=(a.d[i][j]+b.d[i][j])%p;
     return c;
 }
 matrix operator *(matrix a,int  b)
 {
     matrix c;
     for1(i,)for1(j,)c.d[i][j]=(ll)a.d[i][j]*b%p;
     return c;
 }
 inline int power(int x,int y)
 {
     int t=;
     for(;y;y>>=,x=(ll)x*x%p)
      if(y&)t=(ll)t*x%p;
     return t;
 }
 inline matrix power(matrix x,ll y)
 {
     matrix t=I;
     for(;y;y>>=,x=x*x)
      if(y&)t=t*x;
     return t;
 }
 inline int gen()
 {
     int t=p-,x=sqrt(t);pr[]=;
     for2(i,,x)if(t%i==)
     {
         pr[++pr[]]=i;
         while(t%i==)t/=i;
     }
     if(t>)pr[++pr[]]=t;
     for2(i,,inf)
     {
         bool flag=;
         for1(j,pr[])if(power(i,(p-)/pr[j])==){flag=;break;}
         if(!flag)return i;
     }
 }
 int main()
 {
     freopen("input.txt","r",stdin);
     freopen("output.txt","w",stdout);
     I.d[][]=I.d[][]=;
     T.d[][]=T.d[][]=T.d[][]=;
     int cs=read();
     while(cs--)
     {
         n=read();k=read();p=read();g=gen();w=power(g,(p-)/k);ans=A;
         for3(i,,-k+)
         {
           int x=power(w,k+i);
           ans=ans+power(I*x+T,n)*power(x,((-n)%k+k)%k);
         }
         cout<<(ll)ans.d[][]*power(k,p-)%p<<endl;
     }
     return ;
 }