2018.06.26 NOIP模拟 号码（数位dp）

题目背景

SOURCE：NOIP2015-GDZSJNZX（难）

题目描述

Mike 正在在忙碌地发着各种各样的的短信。旁边的同学 Tom 注意到，Mike 发出短信的接收方手机号码似乎都满足着特别的性质，难道Mike 的好朋友是满足正态分布的？Tom 很好奇。

由于 Mike 有着自己最喜欢的数字 a ，并且 a 的范围是：2≤a≤9 。Tom 从这里入手，发现了一些端倪，假设 Mike 发的电话号码是一个十进制数字 S ，Tom 发现 S 会满足以下三个性质中的一个：

1．S 是 a 的倍数。

2．S 在十进制表示下的各项数字加起来是 a 的倍数。

3．S 的某一位是 a 。

比如说当 a=7 时，21，16，17 这三个数字组成的电话号码都是会被Mike发短信的，他们分别满足 1，2，3 性质。

Tom 在想：如果给你两个自然数 L，R，以及 Mike 最喜欢的数字 a ，在 [L,R] 中有多少个号码是 Mike 要发短信的手机号码，只需要你告诉他这些数字的平方和。比如说 3，7 是合法的，那么你应该输出 32 + 72 = 58 这个数。

当然，由于答案可能很大，你只需要将答案对 10^9 + 7 取模即可。

输入格式

输入的第一行包括一个正整数 T ，表示总共有 T 组询问。

接下来有 T 行，每行三个整数 L，R，A 。

输出格式

输出包括 T 行，每行一个整数，表示对 10^9 + 7 取模的答案。

样例数据 1

输入

3

2 20 6

3 203 7

11 771 2

输出

1884

1593269

32817226

备注

【数据范围】

对于 15% 的数据，0≤L≤R≤10^6，T=1

对于 35% 的数据，0≤L≤R≤10^7，T=1

另外有 25% 的数据，A=2；L=10k；R=10v；k和v都是自然数。

对于 100% 的数据，0≤L≤R≤10^18；2≤A≤9；T≤100

先看一眼题面，再看一眼数据范围不难想到这题想考数位dp

但常规的数位dp只要求求出满足条件的数的个数，该题要求的是这些数的平方和，为了解决这个问题，我们可以先考虑这个问题的弱化版本：如何求出这些数的和？

我们可以将普通数位dp要求的数的数量抽象成0维上的问题，那么该题就是要求二维问题，显然我们可以用0维的状态推出1维的状态，那么自然我们也可以用0维和1维的状态来推出二维的状态。那么我们可以利用完全平方式来推出答案，设前几位的值为a，当前位的值为b，那么，合并起来的值是（10a+b），那么合并起来的值的平方为100a^2+20ab+b2，由于a和b都知道，那么就做完了。

注：状态转移方程有点恶心、

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll t,m,l,r,dp[3][20][10][10][2][2],num[20];
// ^ 每一位的和 数的大小 是否出现过 是否满位
inline ll sol(ll x){
	if(x==-1||x==0)return 0;
	ll ans=0,len=0;
	while(x)num[++len]=x%10,x/=10;
	for(int i=1;i<=(len>>1);++i)swap(num[i],num[len-i+1]);
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<num[1];++i){
		dp[0][1][i%m][i%m][i==m][0]+=1;
		dp[1][1][i%m][i%m][i==m][0]+=i;
		dp[2][1][i%m][i%m][i==m][0]+=i*i;
	}
	dp[0][1][num[1]%m][num[1]%m][num[1]==m][1]+=1;
	dp[1][1][num[1]%m][num[1]%m][num[1]==m][1]+=num[1];
	dp[2][1][num[1]%m][num[1]%m][num[1]==m][1]+=num[1]*num[1];
	for(int i=1;i<len;++i)
	for(int j=0;j<m;++j)
	for(int k=0;k<m;++k)
	for(int t=0;t<2;++t){
		for(int s=0;s<=9;++s){
			dp[0][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]=(dp[0][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]+dp[0][i][j][k][t][0])%mod;
			dp[1][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]=(dp[1][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]+10LL*dp[1][i][j][k][t][0]+1LL*s*dp[0][i][j][k][t][0])%mod;
			dp[2][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]=(dp[2][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]+100LL*dp[2][i][j][k][t][0]+20LL*s*dp[1][i][j][k][t][0]+1LL*s*s*dp[0][i][j][k][t][0])%mod;
		}
		for(int s=0;s<num[i+1];++s){
			dp[0][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]=(dp[0][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]+dp[0][i][j][k][t][1])%mod;
			dp[1][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]=(dp[1][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]+10LL*dp[1][i][j][k][t][1]+1LL*s*dp[0][i][j][k][t][1])%mod;
			dp[2][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]=(dp[2][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][0]+100LL*dp[2][i][j][k][t][1]+20LL*s*dp[1][i][j][k][t][1]+1LL*s*s*dp[0][i][j][k][t][1])%mod;
		}
		int s=num[i+1];
		dp[0][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][1]=(dp[0][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][1]+dp[0][i][j][k][t][1])%mod;
		dp[1][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][1]=(dp[1][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][1]+10LL*dp[1][i][j][k][t][1]+1LL*s*dp[0][i][j][k][t][1])%mod;
		dp[2][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][1]=(dp[2][i+1][(j+s)%m][(k*10+s)%m][(s==m)||t][1]+100LL*dp[2][i][j][k][t][1]+20LL*s*dp[1][i][j][k][t][1]+1LL*s*s*dp[0][i][j][k][t][1])%mod;
	}
	for(int i=0;i<m;++i)
	for(int j=0;j<m;++j)
	for(int k=0;k<=1;++k)
	ans=(ans+dp[2][len][i][j][1][k])%mod;
	for(int i=0;i<m;++i)
	for(int j=0;j<=1;++j)
	ans=(ans+dp[2][len][0][i][0][j])%mod;
	for(int i=1;i<m;++i)
	for(int j=0;j<=1;++j)
	ans=(ans+dp[2][len][i][0][0][j])%mod;
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&m);
		printf("%lld\n",(sol(r)-sol(l-1)+mod)%mod);
	}
	return 0;
}