BZOJ 1023 仙人掌图

Description

如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路（simple cycle）里，我们就称这张图为仙人图（cactus）。所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路。

举例来说，上面的第一个例子是一张仙人图，而第二个不是——注意到它有三条简单回路：（4，3，2，1，6，5，4）、（7，8，9，10，2，3，7）以及（4，3，7，8，9，10，2，1，6，5，4），而（2，3）同时出现在前两个的简单回路里。另外，第三张图也不是仙人图，因为它并不是连通图。显然，仙人图上的每条边，或者是这张仙人图的桥（bridge），或者在且仅在一个简单回路里，两者必居其一。定义在图上两点之间的距离为这两点之间最短路径的距离。定义一个图的直径为这张图相距最远的两个点的距离。现在我们假定仙人图的每条边的权值都是1，你的任务是求出给定的仙人图的直径。

Input

输入的第一行包括两个整数n和m（1≤n≤50000以及0≤m≤10000）。其中n代表顶点个数，我们约定图中的顶点将从1到n编号。接下来一共有m行。代表m条路径。每行的开始有一个整数k（2≤k≤1000），代表在这条路径上的顶点个数。接下来是k个1到n之间的整数，分别对应了一个顶点，相邻的顶点表示存在一条连接这两个顶点的边。一条路径上可能通过一个顶点好几次，比如对于第一个样例，第一条路径从3经过8，又从8返回到了3，但是我们保证所有的边都会出现在某条路径上，而且不会重复出现在两条路径上，或者在一条路径上出现两次。

Output

只需输出一个数，这个数表示仙人图的直径长度。

Sample Input

15 3
9 1 2 3 4 5 6 7 8 3
7 2 9 10 11 12 13 10
5 2 14 9 15 10 8
10 1
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sample Output

HINT

对第一个样例的说明：如图，6号点和12号点的最短路径长度为8，所以这张图的直径为8。

【注意】使用Pascal语言的选手请注意：你的程序在处理大数据的时候可能会出现栈溢出。如果需要调整栈空间的大小，可以在程序的开头填加一句：{$M 5000000}，其中5000000即指代栈空间的大小，请根据自己的程序选择适当的数值。

Source

树的直径大家都会求吧，记录每个点第一的深度和第二的深度，进行dp转移。这题其实和树上的dp其实也差不蛮多。

首先，我们把环抛开，f[i]记录每个点i为根到底最长的路径，然后用ans=max(ans,f[son]+1+f[i])更新答案，f[i]=max(f[i],f[son]+1)来更新f[i]，想一想为什么(其实跟我讲的第一深与第二深的原理是相同的)。(son不包括环上的点。)

然后，我们再来考虑环。首先，我们可以将环进行缩点处理，只要留深度最小的点即可(因为只有环上深度最小的点可以更新其他的树点，环上其他的点都是用来更新这个最高点的，所以他们就可以再见了)。由于不会出现环套环的现象(仙人掌图的性质)，所以我们就可以放心的把环抠出来dp了。则ans=max(f[i]+f[j]+dis(i,j),ans),f[root]=min(f[i],f[j]+dis[i][j]);乍看好像必须要O(n^2)的暴力枚举才可以做出来。然而，我们可以利用单调队列降掉一个n：将环长扩充一倍(貌似一半就可以了)，单调队列中记录f[j]+dis[i][j]的值(单增的)，但是对于i-j>环长/2的点，我们就把j给删掉了。这样我们就可以做到线性更新ans，至于更新f[root]，我们再枚举一遍即可。

这样的树p我们可以在tarjan中完成，实现见code：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 using namespace std;

 #define maxm 100010

 #define maxn 50010

 int n,m,cnt,toit[maxm*],side[maxn],next[maxm*],f[maxn];

 int ans,dfn[maxn],low[maxn],fa[maxn],a[*maxn],q[*maxn];

 inline void add(int a,int b) { next[++cnt] = side[a]; toit[cnt] = b; side[a] = cnt; }

 inline void ins(int a,int b) { add(a,b); add(b,a); }

 inline int read()

 {

     int x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }

 inline void dp(int root,int last)

 {

     int nn = ;

     while (last != root) a[++nn] = last,last = fa[last];

     a[++nn] = root;

     for (int i = ;i *  <= nn;++i) swap(a[i],a[nn-i+]);

     for (int i = ;i <= nn;++i) a[i] = f[a[i]],a[i+nn] = a[i];

     int h = ,t = ;

     q[++t] = ;

     for (int i = ;i <= nn * ;++i)

     {

         while (h != t && i-q[h+]>nn/) ++h;

         ans = max(ans,i - q[h+] + a[i] + a[q[h+]]);

         while (h != t && a[q[t]] - q[t]<= a[i] - i) --t;

         q[++t] = i;

     }

     for (int i = ;i <= nn;++i)

         f[root] = max(f[root],a[i] + min(i-,nn+-i));

 }

 inline void dfs(int now)

 {

     dfn[now] = low[now] = ++cnt;

     for (int i = side[now];i;i = next[i])

     {

         if (toit[i] == fa[now]) continue;

         if (!dfn[toit[i]]) fa[toit[i]] = now,dfs(toit[i]);

         low[now] = min(low[toit[i]],low[now]);

         if (dfn[now] < low[toit[i]]) ans = max(ans,f[now]+f[toit[i]]+),f[now] = max(f[now],f[toit[i]]+);

     }

     for (int i = side[now];i;i = next[i])

         if (toit[i] != fa[now]&&dfn[toit[i]]>dfn[now]&&fa[toit[i]] != now) dp(now,toit[i]);

 }

 int main()

 {

     freopen("1023.in","r",stdin);

     freopen("1023.out","w",stdout);

     n = read(); m = read(); int u,v,i,j,k;

     for (i = ;i <= m;++i)

     {

         k = read(); u = read();

         for (j = ;j < k;++j) v = read(),ins(u,v),u = v;

     }

     cnt = ;

     dfs();

     printf("%d",ans);

     fclose(stdin); fclose(stdout);

     return ;

 }