【扩展欧几里得】BAPC2014 I Interesting Integers (Codeforces GYM 100526)

题目链接：

　　http://codeforces.com/gym/100526

　　http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=11672&courseid=0

题目大意：

　　给定任意一个N，(N<=10⁹)求斐波那契—卢卡斯数列的前两项A和B。(先满足B最小再满足A最小，A<=B)

　　斐波那契—卢卡斯数列是斐波那契数列的推广，斐波那契数列f[0]=0,f[1]=1，斐波那契—卢卡斯数列f[0]=A,f[1]=B。

　　二者均满足f[i]=f[i-1]+f[i-2],i>=2。

题目思路：

　　【数论】【扩展欧几里得】

　　首先如果数列S是斐波那契数列，则A*S，S+S也满足f[i]=f[i-1]+f[i-2]。

　　那么考虑A=1，B=0的斐波那契—卢卡斯数列S1，为第一个数对最终答案的影响。

　　同样，A=0，B=1的斐波那契—卢卡斯数列S2，为第二个数对最终答案的影响。

　　容易得到这两个数列是错位的斐波那契数列

　　S1=1,0,1,1,2,3,5...

　　S2=0,1,1,2,3,5,8...

　　S2[i]=S1[i+1].

　　而把S1*A+S2*B如果能含有N，则A B的最小解即为所求。

　　所以只需要求出斐波那契数列的前45项(10⁹内)，接下来就是枚举N是由斐波那契数列中哪两个相邻的数分别乘A和B得到的。

　　即A*f[i]+B*f[i-1]=N。可以对f[i],f[i-1]扩展欧几里得，求出对应的A和B，看看能否把X,Y调成满足题意得(0<B<=A)如果行则为答案。

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 //by coolxxx
 //#include<bits/stdc++.h>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<string>
 #include<iomanip>
 #include<map>
 #include<memory.h>
 #include<time.h>
 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<string.h>
 //#include<stdbool.h>
 #include<math.h>
 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 #define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
 #define lowbit(a) (a&(-a))
 #define sqr(a) ((a)*(a))
 #define swap(a,b) ((a)^=(b),(b)^=(a),(a)^=(b))
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define eps (1e-8)
 #define J 10
 #define mod 1000000007
 #define MAX 0x7f7f7f7f
 #define PI 3.14159265358979323
 #define N 54
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 int cas,cass;
 int n,m,lll,ans;
 int f[N]={,};
 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
 {
     if(!b){x=,y=;return a;}
     LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
     y-=a/b*x;
     return d;
 }
 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
 //    freopen("1.txt","r",stdin);
 //    freopen("2.txt","w",stdout);
     #endif
     int i,j,k;
     LL a,b,c,d,x,y,lcm,ii;
     for(i=;i<;i++)
         f[i+]=f[i-]+f[i];
     for(scanf("%d",&cas);cas;cas--)
 //    for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
 //    while(~scanf("%s",s+1))
 //    while(~scanf("%d",&n))
     {
         scanf("%d",&n);
         for(k=;k && f[k]>n;k--);
         if(f[k]==n)
         {
             puts("1 1");
             continue;
         }
         for(i=k;i>;i--)
         {
             a=f[i];b=f[i-];c=n;
             lcm=a*b;
             d=exgcd(a,b,x,y);
             x=x%b+b;
             y=(-x*a)/b;
             x*=c;y*=c;
             if(y<=)
             {
                 ii=(y-a+)/(-a);
                 y+=ii*a;
                 x-=ii*b;
             }
             while((x-b)>=(y+a))x-=b,y+=a;
             if(x<= || y<= || y>x)continue;
             printf("%I64d %I64d\n",y,x);
             break;
         }
     }
     return ;
 }
 /*
 //

 //
 */