MATLAB实例:构造网络连接图(Network Connection)及计算图的代数连通度(Algebraic Connectivity)

作者:凯鲁嘎吉 - 博客园 http://www.cnblogs.com/kailugaji/

1. 图的代数连通度(Algebraic Connectivity)

图的代数连通度:Laplace图谱的次小特征值。

2. 网络连接图(Network Connection)的构造

随机生成一个具有50个节点的传感器网络。节点随机放置在3.5 x 3.5方形区域内,通信距离为0.8。如下图所示,共有159条边,其代数连通度为:0.3007。

3. MATLAB程序

demo_Create_Network_Connection.m

%创建无向图 网络连接图 Network Connection.
clc;
close all;
clear; Conf.Square = 3.5; %方形区域的边长
Conf.NodeNumber = 50; %节点个数
Conf.CommDist = 0.8; %最大通信距离 is_create_network = 1;
if is_create_network == 1
[ Network, Dists ] = CreateNetworksFunc(Conf);
save Network_1.mat Network
else
load Network_1.mat
end nodenum = size(Network.Nodes.loc,1); %节点个数
lap_matrix = zeros(nodenum); %节点数*节点数 图的Laplace矩阵:diag(d1,d2,...dn)-邻接矩阵,di为节点i的度
for i=1:nodenum
idx = Network.Nodes.neighbors{i}; %邻接节点的id
lap_matrix(i,idx) = -1; %负的邻接矩阵
lap_matrix(i,i) = length(idx); %对角线元素为节点的度
end
eig_val = eig(lap_matrix); %lap_matrix的特征值
eig_val = sort(eig_val,'ascend'); %从小到大排序,最小特征值为0
algeb_conn = eig_val(2) % algebraic connectivity 代数连通度:lap_matrix的第二小特征值>0,连通图
avg_deg = sum(diag(lap_matrix))/nodenum % average values 节点度的均值 DrawNetworks(Network);
% DrawNetworks(Network, Dists); %把所有的边的长度(通信距离)都标出来了
print(gcf,'-dpng','Network_1.png'); %保存图片

CreateNetworksFunc.m

function [ Network, Dists ] = CreateNetworksFunc(Conf)
% 创建无向图 网络连接图 Network Connection.
num = Conf.NodeNumber; %节点个数
square = Conf.Square; %方形区域的边长
maxDist = Conf.CommDist; %最大通信距离 loc = square*rand(num,2) - square/2; %num*2的随机数 节点坐标
Dists = Euclid_Dist(loc(:,1),loc(:,2)); %节点数*节点数,对角线元素为0 % without self-loop 不存在节点自己到自己的路径,对角线上的元素为无穷大
Dists = Dists + 10*maxDist*eye(num); Neighbors = cell(num,1);
maxDegree = 0; %节点的最大度,与节点相邻的最大边数
edges = 0; %图的总边的个数,无向图的度/2
for i=1:num
Neighbors{i} = find(Dists(i,:)<=maxDist); %找邻接节点的id
if length(Neighbors{i}) > maxDegree
maxDegree = length(Neighbors{i}); %节点的最大度
end
edges = edges + length(Neighbors{i});
end Nodes.loc = loc;
Nodes.neighbors = Neighbors; Network.maxDegree = maxDegree;
Network.edges = edges/2; %% undirected graph
Network.Conf = Conf;
Network.Nodes = Nodes;
end function dist = Euclid_Dist(X,Y)
% 求两两节点之间的距离,输出[节点*节点]的矩阵,距离矩阵
len = length(X);
xx = repmat(X,1,len); %节点数*节点数
yy = repmat(Y,1,len);
dist = sqrt((xx-xx').^2+(yy-yy').^2); %节点数*节点数
end

DrawNetworks.m

function fig = DrawNetworks( Network )
%画无向图 网络连接图 Network Connection.
% function fig = DrawNetworks( Network, Dists ) %把所有的边的长度(通信距离)都标出来了 num = Network.Conf.NodeNumber; %节点个数
loc = Network.Nodes.loc; %节点坐标
square = Network.Conf.Square; %方形区域的边长
Neighbors = Network.Nodes.neighbors; %邻接节点的id fig = figure;
plot(loc(:,1),loc(:,2),'ro','MarkerSize',8,'LineWidth',2); %节点是红色圆圈
side=ceil(square/2);
axis([-side,side,-side,side]);
for i=1:num
for k = 1:length(Neighbors{i})
j = Neighbors{i}(k);
% c = num2str(Dists(i,j),'%.2f');
% text((loc(i,1) + loc(j,1))/2,(loc(i,2) + loc(j,2))/2,c,'Fontsize',10); %把所有的边的长度(通信距离)都标出来了
% hold on;
line([loc(i,1),loc(j,1)],[loc(i,2),loc(j,2)],'LineWidth',0.8,'Color','b'); %线是蓝色
end
end
set(gcf, 'Color', 'w'); %白色
end

4. 参考文献

[1] Hua J, Li C. Distributed variational Bayesian algorithms over sensor networks[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2015, 64(3): 783-798.

[2] 肖恩利, 束金龙, 闻人凯. 图的代数连通度及其点连通度[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2003, 2003(4):1-4.

[3] Junhao Hua. Distributed Variational Bayesian Algorithms. Github, 2017.

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