UVa 11174 (乘法逆元) Stand in a Line

题意：

有n个人排队，要求每个人不能排在自己父亲的前面(如果有的话)，求所有的排队方案数模1e9+7的值。

分析：

《训练指南》上分析得挺清楚的，把公式贴一下吧：

设f(i)为以i为根节点的子树的排列方法，s(i)表示以i为根的子树的节点总数。

f(i) = f(c1)f(c2)...f(ck)×(s(i)-1)!/(s(c1)!s(c2)!...s(ck)!)

按照书上最开始举的例子，其实这个式子也不难理解，就是先给这些子树确定一下位置，即有重元素的全排列。

子树的位置确定好以后，然后再确定子树中各个节点的顺序。

对了，因为求组合数会用到除法，而且1e9+7又是个素数，所以我们在做除法的时候只要乘上它对应的乘法逆元即可。

这是递归计算的代码：

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 const int maxn =  + ;
 const int MOD = ;

 vector<int> sons[maxn];
 int fa[maxn], fac[maxn], ifac[maxn];

 inline int mul_mod(int a, int b, int n = MOD)
 {
     a %= n; b %= n;
     return (int)((long long)a * b % n);
 }

 void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y)
 {
     if(!b) { d = a; x = ; y = ; }
     else{ gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
 }

 int inv(int a, int n)
 {
     int d, x, y;
     gcd(a, n, d, x, y);
     return d ==  ? (x+n)%n : -;
 }

 int C(int n, int m)
 { return mul_mod(mul_mod(fac[n], ifac[m]), ifac[n-m]); }

 void init()
 {
     fac[] = ifac[] = ;
     for(int i = ; i < maxn; i++)
     {
         fac[i] = mul_mod(fac[i - ], i);
         ifac[i] = inv(fac[i], MOD);
     }
 }

 int count(int u, int& size)//size是u为根的子树的节点总数
 {//统计u为根的子树的排列方案
     size = ;
     int ans = ;
     int d = sons[u].size();
     vector<int> sonsize;
     for(int i = ; i < d; i++)
     {
         int sz;
         ans = mul_mod(ans, count(sons[u][i], sz));
         size += sz;
         sonsize.push_back(sz);
     }
     int sz = size - ;
     for(int i = ; i < d; i++)
     {
         ans = mul_mod(ans, C(sz, sonsize[i]));
         sz -= sonsize[i];
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);

     init();
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         int n, m;
         scanf("%d%d", &n, &m);
         memset(fa, , sizeof(fa));
         for(int i = ; i <= n; i++) sons[i].clear();
         for(int i = ; i < m; i++)
         {
             int a, b;
             scanf("%d%d", &a, &b);
             fa[a] = b;
             sons[b].push_back(a);
         }
         for(int i = ; i <= n; i++)
             if(!fa[i]) sons[].push_back(i);
         int size;
         printf("%d\n", count(, size));
     }

     return ;
 }

代码君

书上后面又提到如果将上式完全展开，每个非根节点u都以(s(u)-1)!出现在分子一次，又以s(u)!出现在分母一次，约分后就只剩分母一个s(u)了。

这样f(root) = (s(root)-1)!/(s(1)s(2)...s(n))，又因为s(root) = n+1(因为除了n个人还有一个虚拟的0祖宗节点)，

所以f(root) = n!/(s(1)s(2)...s(n))，还是用递归算出所有的s(i)

这样预处理一下40000以内的阶乘和乘法逆元即可。

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 const int maxn =  + ;
 const int MOD = ;

 int n, m;
 vector<int> sons[maxn];
 int fa[maxn], fac[maxn], ifac[maxn], inverse[maxn], sonsize[maxn];

 inline int mul_mod(int a, int b, int n = MOD)
 {
     a %= n; b %= n;
     return (int)((long long)a * b % n);
 }

 void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y)
 {
     if(!b) { d = a; x = ; y = ; }
     else{ gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
 }

 int inv(int a, int n = MOD)
 {
     int d, x, y;
     gcd(a, n, d, x, y);
     return d ==  ? (x+n)%n : -;
 }

 int C(int n, int m)
 { return mul_mod(mul_mod(fac[n], ifac[m]), ifac[n-m]); }

 void init()
 {
     fac[] = ifac[] = ;
     for(int i = ; i < maxn; i++)
     {
         fac[i] = mul_mod(fac[i - ], i);
         inverse[i] = inv(i);
     }
 }

 void count(int u, int& size)
 {//统计以u为根的子树节点个数
     size = ;
     int d = sons[u].size();
     for(int i = ; i < d; i++)
     {
         int sz;
         count(sons[u][i], sz);
         size += sz;
     }
     sonsize[u] += size;
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);

     init();
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         memset(fa, , sizeof(fa));
         memset(sonsize, , sizeof(sonsize));
         for(int i = ; i <= n; i++) sons[i].clear();

         scanf("%d%d", &n, &m);
         for(int i = ; i < m; i++)
         {
             int a, b;
             scanf("%d%d", &a, &b);
             fa[a] = b;
             sons[b].push_back(a);
         }
         for(int i = ; i <= n; i++)
             if(!fa[i]) sons[].push_back(i);
         int size;
         count(, size);
         //for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", sonsize[i]);
         int ans = fac[n];
         for(int i = ; i <= n; i++) ans = mul_mod(ans, inverse[sonsize[i]]);
         printf("%d\n", ans);
     }

     return ;
 }

代码君