动态规划经典——最长公共子序列问题 (LCS)和最长公共子串问题

一.最长公共子序列问题(LCS问题)

给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共子序列，并返回其长度。例如：

　　A = "HelloWorld"

　   B = "loop"

则A与B的最长公共子序列为 "loo",返回的长度为3。此处只给出动态规划的解法：定义子问题dp[i][j]为字符串A的第一个字符到第 i 个字符串和字符串B的第一个字符到第 j 个字符的最长公共子序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表示 “ap” 和 “app” 的最长公共字串。注意到代码中 dp 的大小为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的一行和一列是第 0 行和第 0 列，初始化为 0，表示空字符串和另一字符串的子串的最长公共子序列，例如dp[0][3]表示  "" 和 “app” 的最长公共子串。

当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉一个字符时的最长公共子序列再加 1；否则最长公共子序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中大者。所以整个问题的初始状态为：

 $$ dp[i][0] =0 , dp[0][j] = 0$$

相应的状态转移方程为：

$$  dp[i][j] = \begin{cases} \max\{dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]\} ,& {A[i - 1]  != B[j - 1]} \\ dp[i - 1][j - 1] + 1 , & {A[i - 1]  == B[j - 1]} \end{cases}  $$

代码的实现如下：

class LCS
{
public:
    int findLCS(string A, int n, string B, int m)
    {
        if(n == 0 || m == 0)//特殊输入
            return 0;
        int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组
        for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态
            dp[i][0] = 0;
        for(int i = 0; i <= m; i++)
            dp[0][i] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j<= m; j++)
            {
                if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同
                    dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
            }
            return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]
    }
};

该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。此外，由于遍历时是从下标1开始的，因为下标为0表示空字符串；所以第A的第i个字符实际上为A[i -1]，B的第j个字符为B[j-1]。

二.最长公共子串问题

给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共子串，并返回其长度。例如：

　　A = "HelloWorld"

　   B = "loop"

则A与B的最长公共子串为 "lo",返回的长度为2。我们可以看到子序列和子串的区别：子序列和子串都是字符集合的子集，但是子序列不一定连续，但是子串一定是连续的。同样地，这里只给出动态规划的解法：定义dp[i][j]表示以A中第i个字符结尾的子串和B中第j个字符结尾的子串的的最大公共子串(公共子串实际上指的是这两个子串的所有部分)的长度(要注意这里和LCS的不同，LCS中的dp[i+1][j+1]一定是大于等于dp[i][j]的；但最长公共子串问题就不一定了，它的dp[i][j]表示的子串不一定是以A[0]开头B[0]开头的，但是一定是以A[i-1]、B[j-1]结尾的)，同样地， dp 的大小也为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的一行和一列是第 0 行和第 0 列，初始化为 0，表示空字符串和另一字符串的子串的最长公共子串。

当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i - 1][j- 1] + 1，相当于在两个字符串都去掉一个字符时的最长公共子串再加 1；否则最长公共子串取0。所以整个问题的初始状态为：

$$ dp[i][0] =0 , dp[0][j] = 0$$

相应的状态转移方程为：

$$  dp[i][j] = \begin{cases} 0 ,& {A[i - 1]  != B[j - 1]} \\ dp[i - 1][j - 1] + 1 , & {A[i - 1]  == B[j - 1]} \end{cases}  $$

代码的实现如下：

class LongestSubstring {
public:
    int findLongest(string A, int n, string B, int m) {
         if(n == 0 || m == 0)
            return 0;
        int rs = 0;
        int dp[n + 1][m + 1];
        for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态
            dp[i][0] = 0;
        for(int i = 0; i <= m; i++)
            dp[0][i] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j<= m; j++)
            {
                if(A[i - 1] == B[j - 1])
                {
                    dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;
                    rs = max(rs,dp[i][j]);//每次更新记录最大值
                }

                else//不相等的情况
                    dp[i][j] = 0;
            }
            return rs;//返回的结果为rs
    }
};

该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。同样地，遍历下标也是从1开始的。不过关于最长公共子串问题，有几点需要注意下：

1.由于dp[i][j]不像LCS是个递增的数组，所以它在每次更新时需要同时更新最大值rs，且最后返回的结果是rs。而LCS中返回的直接就是dp[n][m]。

2.从代码上来看，两者的结构其实差不多，只不过状态转移方程有些小许的不同，分析过程也类似。

3.另外，关于这量两种问题还有更优的解法，不过本文主要是DP的思想去解决，当然其中还有对DP的优化，不过此处不再详述。

参考：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c996bbb77dd447d681ec6907ccfb488a

　　　https://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446