【bzoj2844】albus就是要第一个出场

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Description

已知一个长度为n的正整数序列A（下标从1开始），令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的幂集2^S定义为S 所有子

集构成的集合。定义映射 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 对于一切t属于T现在albus把2^S中每个集

合的f值计算出来，从小到大排成一行，记为序列B（下标从1开始）。给定一个数，那么这个数在序列B中第1

次出现时的下标是多少呢？

Input

第一行一个数n, 为序列A的长度。接下来一行n个数，为序列A，用空格隔开。最后一个数Q，为给定的数.

Output

共一行，一个整数，为Q在序列B中第一次出现时的下标模10086的值.

Sample Input

1 2 3

Sample Output

样例解释：

N = 3, A = [1 2 3]

S = {1, 2, 3}

2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

f(空) = 0

f({1}) = 1

f({2}) = 2

f({3}) = 3

f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3

f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2

f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1

f({1, 2, 3}) = 0

所以

B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

HINT

数据范围：

1 <= N <= 10,0000

其他所有输入均不超过10^9

Source

湖北省队互测

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题解：
问题即求子集异或和的某个数的排名；
线性基的性质：若$A,|A|=n$的线性基为$B$，$|B|=k$,则有$2^k$个不同的子集异或和，且每个会出现$2^{n-k}$次；

由基的线性无关性可以知道有且仅有$^k$个异或和互不相同；

       这k个基是可以从$a_i$里选出来的，只是我们为了好写，一般插入就直接消元到某个数组里；

       考虑他们的子集异或和S1，另外有$n-k$个数，可以被B中的向量唯一表示，考虑子集异或和S2 ;

       S1 ^ S2 也是一种合法的选法；

      这样有$^k * ^{n-k} = ^n$种 ,说明只有$^n$且按照这种方式对应；

如果你关心一个蒟蒻的不太严谨的证明的话

高斯亚当消元求出互相独立的线性基，在线性基上一个一个查找；

注意消元的两个循环(line23 line24 )有顺序；

复杂度;$ O(n log \ a_{i} + log \ a_{i}) $
20181030

 #include<cstdio>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #include<cstring>

 #include<queue>

 #include<cmath>

 #include<vector>

 #include<stack>

 #include<map>

 #include<set>

 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)

 #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)

 #define ll long long

 #define inf 0x3f3f3f3f

 using namespace std;

 const int N= , mod=;

 int n,d[],q;

 void ins(int x){

     for(int i=;~i;i--)if((x>>i)&){

         if(!d[i]){

             d[i]=x;

             for(int j=;j<i;j++)if(d[j]&&((d[i]>>j)&))d[i]^=d[j];

             for(int j=;j>i;j--)if((d[j]>>i)&)d[j]^=d[i];

             break;

         }

         else x^=d[i];

     }

 }

 int pw(int x,int y){

     int re=;

     while(y){

         if(y&)re=re*x%mod;

         y>>=;x=x*x%mod;

     }

     return re;

 }

 int query(int x){

     int re=,cnt=;

     for(int i=;~i;i--)if(d[i])cnt++;

     int tmp=cnt;

     for(int i=;~i;i--)if(d[i]){

         tmp--;

         if((x^d[i])<x){

             x^=d[i];

             re=(re+pw(,tmp))%mod;

         }

     }

     re=re*pw(,n-cnt)%mod;

     return re;

 }

 int main(){

     freopen("in.in","r",stdin);

     freopen("out.out","w",stdout);

     scanf("%d",&n);

     Run(i,,n){

         int x;scanf("%d",&x);

         ins(x);

     }

     int x;scanf("%d",&x);

     cout<<(query(x)+)%mod<<endl;

     return ;

 }//by tkys_Austin;