codeforces 917D Stranger Trees

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正解：矩阵树定理+拉格朗日插值。

一下午就搞了这一道题，看鬼畜英文题解看了好久。。

首先这题出题人给了两种做法，感觉容斥+$prufer$序列+$dp$的做法细节有点多所以没看，然而这个做法似乎更难想。。

我们先构造一个函数$f(x)$，表示用一个完全图和$x-1$棵原树的边，构成的生成树的方案数。

也就是说，原树的每条边复制成$x$条，不在原树的边都变成一条边，求这个图的生成树的方案数。

然后我们可以发现，这个方案数实际上就等于$\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}*ans_{i}$，其中$ans_{i}$表示询问的恰好有$i$条边的答案。

稍微解释一下，我们选定了原树的$i$条边，那么原树这$i$条边每条边就有$x$种选择，其他边只有$1$种选择。

然后现在我们的目标就变成了求出这个函数所表示的多项式的系数。

那么我们可以算出$x$取$[1,n]$的答案，用拉格朗日插值求出多项式，计算答案可以用矩阵树定理。

复杂度为$O(n^{4}+n^{3})$，写完题解以后发现也不是很难。。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define rhl (1000000007)
 #define N (105)

 using namespace std;

 int a[N][N],g[N][N],p[N],ans[N],fac[N],ifac[N],inv[N],n,len;

 il int gi(){
   RG int x=,q=; RG char ch=getchar();
   while ((ch<'' || ch>'') && ch!='-') ch=getchar();
   if (ch=='-') q=-,ch=getchar();
   while (ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
   return q*x;
 }

 il int qpow(RG int a,RG int b){
   RG int ans=;
   while (b){
     if (b&) ans=1LL*ans*a%rhl;
     if (b>>=) a=1LL*a*a%rhl;
   }
   return ans;
 }

 il int gauss(){
   RG int res=;
   for (RG int i=,id,inv;i<n;++i){
     for (id=i;id<n && !a[id][i];++id); if (id>=n) return ;
     if (id!=i){
       for (RG int j=;j<n;++j) swap(a[i][j],a[id][j]);
       res=-res;
     }
     res=1LL*res*a[i][i]%rhl,inv=qpow(a[i][i],rhl-);
     for (RG int j=i+,tmp;j<n;++j){
       if (!a[j][i]) continue;
       tmp=1LL*a[j][i]*inv%rhl;
       for (RG int k=i;k<n;++k)
     a[j][k]=(a[j][k]-1LL*a[i][k]*tmp)%rhl;
     }
   }
   return (res+rhl)%rhl;
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("stranger.in","r",stdin);
   freopen("stranger.out","w",stdout);
 #endif
   n=gi(),fac[]=ifac[]=;
   for (RG int i=;i<=n;++i){
     inv[i]=i==?:1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
     fac[i]=1LL*fac[i-]*i%rhl;
     ifac[i]=1LL*ifac[i-]*inv[i]%rhl;
   }
   for (RG int i=,u,v;i<n;++i)
     u=gi(),v=gi(),g[u][v]=g[v][u]=;
   for (RG int k=;k<=n;++k){
     for (RG int i=;i<=n;++i)
       for (RG int j=;j<=n;++j) a[i][j]=;
     for (RG int i=;i<n;++i)
       for (RG int j=i+,tmp;j<=n;++j){
     tmp=g[i][j] ? k : ;
     a[i][j]-=tmp,a[j][i]-=tmp;
     a[i][i]+=tmp,a[j][j]+=tmp;
       }
     p[len=]=1LL*gauss()*ifac[k-]%rhl*ifac[n-k]%rhl;
     if ((n-k)&) p[]=rhl-p[];
     for (RG int t=,tmp;t<=n;++t){
       if (k==t) continue; tmp=rhl-t;
       for (RG int i=++len;~i;--i)
     p[i]=(1LL*tmp*p[i]+(i?p[i-]:))%rhl;
     }
     for (RG int i=;i<=len;++i){
       ans[i]+=p[i],p[i]=; if (ans[i]>=rhl) ans[i]-=rhl;
     }
   }
   for (RG int i=;i<n;++i) printf("%d ",ans[i]); return ;
 }