CDOJ 1330 柱爷与远古法阵（高斯消元）

CDOJ 1330 柱爷与远古法阵（高斯消元）

柱爷与远古法阵

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众所周知，柱爷的数学非常好，尤其擅长概率论！

某日柱爷在喵哈哈村散步，无意间踏入了远古法阵！

法阵很奇怪，是一个长度为NN的走廊，初始时柱爷在最左边，现在柱爷要到最右边去!

柱爷的行动方式如下:

• 每个回合柱爷会投一次骰子，根据骰子上的点数每个回合柱爷会投一次骰子，根据骰子上的点数X，柱爷会相应的往右边移动，柱爷会相应的往右边移动X步.步.

• 骰子的数值是骰子的数值是1到到6，取到每面的概率相同，取到每面的概率相同

• 在某些位置可能有传送门，一旦柱爷在该回合结束后在这个位置上，会被强制传送到传送门的另外一边在某些位置可能有传送门，一旦柱爷在该回合结束后在这个位置上，会被强制传送到传送门的另外一边

• 传送门是单向的,同时每个位置不会有超过1个传送门,同时不会存在a→b,b→c这种情况传送门是单向的,同时每个位置不会有超过1个传送门,同时不会存在a→b,b→c这种情况

• 在任意时刻柱爷都必须保证在法阵内，也就说如果在这一回合结束后柱爷的位置在法阵外，那么这回合柱爷将什么都不做在任意时刻柱爷都必须保证在法阵内，也就说如果在这一回合结束后柱爷的位置在法阵外，那么这回合柱爷将什么都不做

那么请问柱爷到达最右边的期望回合数是多少呢？或者是永远都无法到达？

Input

第一行两个整数NN,MM，分别表示法阵的长度和传送门的数量

接下来MM行，每行两个整数uu,vv，表示从uu到vv有一扇传送门

数据保证:

• 1≤N≤3001≤N≤300

• 0≤M≤[N−22]0≤M≤[N−22]

• 1<u<N，1≤v≤N，u≠v1<u<N，1≤v≤N，u≠v

Output

输出仅一行，表示期望的回合数，如果永远不能到达，输出−1−1.

答案误差在10−610−6以内将被忽略

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
100 0	33.0476190476
100 2 2 3 99 100	29.8571428571

Hint

你可能需要一些概率论 & 线性代数的知识才能解决本题！

Source

2016 UESTC Training for Dynamic Programming

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 const long double eps=1e-;
 long double a[maxn][maxn];//构造的高斯消元的矩阵，代表第i个方程式的第j个系数是多少 ，精度要求很高
 int n,m,f[maxn],x,y;
 inline int read()//读入优化
 {
     int x=,f=;
     char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'')
     {
         if(ch=='-')
             f=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='')
     {
         x=x*+ch-'';
         ch=getchar();
     }
     return x*f;
 }
 inline void write(int x)//输出优化
 {
     if(x<)
     {
         putchar('-');
         x=-x;
     }
     if(x>)
         write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int main()
 {
     n=read();
     m=read();
     for(int i=;i<=n;i++)
         f[i]=i;
     for(int i=;i<=m;i++)//如果有传送的话，到哪里
         f[read()]=read();
      //建立增广矩阵的过程
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         a[i][i]=;//第一个方程
         if(f[i]!=i)
             a[i][f[i]]=-;//如果有传送门 系数直接抵消 x-y=0 相当于 x=y
         else
         {
             a[i][n+]=;//方程右边的常数
             for(int j=;j<=;j++)
             {
                 if(i+j<=n)
                     a[i][i+j]-=1.0;
                 else
                     a[i][i]-=1.0;//另外一个方程
             }
         }
     }
     a[n][n]=1.0;//最后的方程
     a[n][n+]=;
     //高斯消元的过程
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int p=i;
         for(int j=i+;j<=n;j++)
         {
             if(fabs(a[j][i])>eps)//向下查找第j个系数不为0的方程
                 p=j;
         }
         if(fabs(a[p][i])>eps)
         {
             for(int j=i;j<=n+;j++)
                 swap(a[i][j],a[p][j]);//把方程移上来
             for(int j=i+;j<=n;j++)//向下消元 同时除去其他的系数
             {
                 if(fabs(a[j][i])>eps)
                 {
                     long double k=a[j][i]/a[i][i];//消元
                     for(int t=i;t<=n+;t++)
                         a[j][t]-=a[i][t]*k;//系数相减
                 }
             }
         }
     }
     //回代过程
     for(int i=n;i>=;i--)
     {
         for(int j=i+;j<=n;j++)
         {
             if(fabs(a[i][j])>eps)
                 a[i][n+]-=a[i][j]*a[j][n+];//用已知的解求未知解
         }
         if(abs(a[i][i])<=eps&&abs(a[i][n+])>eps)//如果出现矛盾
         {
             printf("-1\n");
             return ;
         }
         a[i][n+]/=a[i][i];//求出当前的解
     }
     printf("%.12lf\n",(double)a[][n+]);//a[i][n+1]就是第i个未知数的解
     return ;
 }

这个算法和之前谈及的有点儿不同，它由绝对值最大的部分开始做起，这样可以改善算法上的稳定性。将经过调换后的第一列作为起点，这算法由左至右地计算。每作出以下两个步骤，才跳到下一列：

1.定出每列的最后一个非0的数，将每行的数字除以该数，使到每行的第一个数成为1；

2.将每行的数字减去第一行的第一个数的某个倍数。

所有步骤完成后，这个矩阵会变成一个行梯阵式，再用代入法就可解决这个方程组。

线性方程组其实是相当容易解决的，基本的思想就是消元。但是当未知数较多时，解起来也蛮头疼的。在这里向大家介绍高斯消元法。例如解如下四元一次方程组：

除去各未知数，将各数排在一起，成为矩阵：

为方便起见，用r2+r1表示把第一行各数加到第二行对应数上。

r2-2*r1, r3-3*r1, r4-4*r1,r3+4*r2, r4+3*r2,r4-2*r3, 可得：

化为方程组形式则为：

从而，可得：

X4=4

X3=3

X2=2

X1=1.

说明：对于矩阵采取的变换的合理性，可对照相应方程组的变换加以理解。

参考：CDOJ 1330 柱爷与远古法阵【高斯消元，卡精度】 - Angel_Kitty - 博客园
https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/7016987.html