P2158 [SDOI2008]仪仗队 && 欧拉函数

P2158 [SDOI2008]仪仗队

题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

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错误日志： 没有特判 \(N = 1\) 的情况

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Solution

除开 \((0,1) (1,0) (0,0)\) 这三个点不谈， 可以发现一个点可以被看到， 当且仅当 \(gcd(x, y) = 1\)

所以把目光放到互质上

类似埃式筛法， 我们可以在 \(O(n\log n)\) 的时间内求出 \(1-n\) 的欧拉函数

void euler(int n){
    for(int i = 2;i <= n;i++)phi[i] = i;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        if(phi[i] == i){
            for(int j = i;j <= n;j += i){
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
                }
            }
        }
    }

发现这题左上部分与右下部分是对称的， 因为 \(y = x\) 这条线上的点被 \((1,1)\) 盖住了， 所以欧拉函数实际上只累积到 \(n - 1\)

我们还要加上最开始除开的三个点

即所求为： $$2 * \sum_{i = 2}^{N - 1}{\phi(i)} + 3$$

注意特判 \(N = 1\) 的情况

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
typedef long long LL;
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const int maxn = 40019;
int num, phi[maxn];
void euler(int n){
    for(int i = 2;i <= n;i++)phi[i] = i;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        if(phi[i] == i){
            for(int j = i;j <= n;j += i){
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
                }
            }
        }
    }
int main(){
    num = RD();
    if(num == 1){puts("0");return 0;}
    euler(num - 1);
    int ans = 0;
    for(int i = 2;i <= num - 1;i++)ans += phi[i];
    printf("%d\n", ans * 2 + 3);
    return 0;
    }

不知道有啥卵用的欧拉定理

若 $$a \perp n$$ 则

\[a^{\phi(n)\equiv}1(mod\ n)
\]