【P2158】仪仗队&欧拉函数详解

来一道数论题吧。

这个题一眼看上去思路明确，应该是数论，但是推导公式的时候却出了问题，根本看不出来有什么规律。看了马佬题解明白了这么个规律貌似叫做欧拉函数，于是就去百度学习了一下这东西。

欧拉函数的含义就是给一个数n，求所有小于这个数中与这个数互质的数的个数。

具体的解释就直接搬运他人的吧。

欧拉函数详解，这篇博客里的解释我认为还是很人性化可以看懂的。

然后给出了两种不同的方法来编程实现。

第一种O（N）的，可以胜任大多数题目。

int euler(int n){ //返回euler(n)
     int res=n,a=n;
     for(int i=;i*i<=a;i++){
         if(a%i==){
             res=res/i*(i-);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
             while(a%i==) a/=i;
         }
     }
     if(a>) res=res/a*(a-);
     return res;
}  

可以看出这样还是比较快的，至少过掉这个题是没问题，然后我们可以把这个题的数据加大到100000。

是不突然发现这种方法要炸了，没关系，我们可以一边筛一边求欧拉函数，具体来说就是借助数组实现。

首先开一个够大的数组（MAX+1），然后一边筛一边求出。

void Init(){
     euler[]=;
     for(int i=;i<Max;i++)
       euler[i]=i;
     for(int i=;i<Max;i++)
        if(euler[i]==i)
           for(int j=i;j<Max;j+=i)
              euler[j]=euler[j]/i*(i-);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   

φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值：
设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
觉得这个“筛”还是比较好用的，以前求数的所有因子之和也是用的它。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iomanip>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
ll ans,n,t,x,cnt,euler[];
inline void Euler(int x)
{
    euler[]=;
    for(re int i=;i<=x;i++)
    euler[i]=i;
    for(re int i=;i<=x;i++)
    {
        if(euler[i]==i)
        {
            for(re int j=i;j<=x;j+=i)
            {
                euler[j]=euler[j]/i*(i-);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    if(n==)
    {
        cout<<;
        return ;
    }
    if(n>=)
    Euler(n-);
    for(re int i=;i<=n-;i++)
    ans+=euler[i];
    cout<<+ans*;
    return ;
}