其他-pkuwc2019数学考试题目
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十道填空题,在poj上举行,选手提交答案,系统将答案自动填入一个作用是输出答案的程序,再将该程序提交评测(由于该程序变量名为longlong,所以选手可以从此得知答案的范围为longlong储存的范围整数)
以下是题目:
- 1:一棵顶点有标号的\(8\)个节点的树,要求其中有两个点度数为\(3\),两个点度数为\(2\),其余点度数为\(1\),问有多少不同的满足条件的树(两棵树不同当且仅当存在两个编号,两编号之间是否有边的情况在两棵树中不同)
- 2:给定单位正方体,每次只能走棱和面对角线,要求路径不自交(包括不能在点和线处相交),问从正方体的一个点走到体对角线所对应的另一个点,路径最长可以多长(答案简化为\(a+\sqrt b\),要求输出\(a+b\))
- 3:给定梯形\(ABCD\),\(AB\)与\(CD\)平行,一个半径为\(r\)的圆圆心在\(AB\)上,并与\(BC,CD,AD\)相切,\(AB=200,CD=50,r=49\),问\(AD\cdot BC\)
- 4:定义\(\{F_i\}\)为斐波那契数列,其中\(F_1=F_2=1\),问\(\prod_{i=1}^{20192019}F_i\)分解质因数后\(2\)的幂
- 5:在一个\(15\times 15\)的方格中放置\(15\)个車,定义一种放置方案的权值为所有車中横纵坐标乘积最小值,问所有情况的期望权值(答案可以简化为\(\frac ab\),输出\(a+b\))
- 6:一个\(20182018\times 20182018\)的方格,其中前\(10091009\)行中,第\(i\)行删去中间\(2(i-1)\)个格子,后\(10091009\)行中,倒数第\(i\)行删去中间\(2(i-1)\)个格子,用\(1\times 2\)的多米诺骨牌覆盖这些方格(骨牌可以旋转),要求骨牌不能放在删去位置,问最多能放多少骨牌
- 7:定义数字集合\(\{A\}\)的权值为:取出集合中最小的数设为\(a\),集合中第\(a\)小的数,若集合大小小于\(a\),则权值为零。问从集合\(\{1,2,\cdots,2019\}\)中任意取\(1643\)元子集的权值期望(输出方法同\(5\))
- 8:定义\(k\)为“好的”,当且仅当对于所有的正整数\(n\),若\(n\)能被分解成\(k\)个因数的平方和,则一定能被拆分为\(k\)个因数的和。问共有多少个“好的”的数,若有无穷个输出\(-1\)
- 9:在圆上划分\(2019\)等分点,不断在两个点之间连边,每次要求连的边与之前的边相交不超过一次,问最多能连多少边
- 10:定义\(n\)为“好的”,当且仅当集合\(A=\{1,2,\cdots,n\}\)能被划分为两种颜色,是的恰好有\(2019\)对有序三元组\((a,b,c)\in A\times A\times A\)满足\(a,b,c\)都是一种颜色,且\(n|(x+y+z)\)。问所有“好的”的数之和
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