FOC中的Clarke变换和Park变换详解（动图+推导+仿真+附件代码）

文章目录

• 1 前言
• 2 自然坐标系ABC
• 3 αβ\alpha\betaαβ 坐标系
• 3.1 Clarke变换
• 3.2 Clarke反变换
• 4 dqdqdq 坐标系
• 4.1 Park变换
• 正转
• 反转
• 4.2 Park反变换
• 5 程序实现
• 附件

1 前言

永磁同步电机是复杂的非线性系统，为了简化其数学模型，实现控制上的解耦，需要建立相应的坐标系变换，即Clark变换和Park变换。

2 自然坐标系ABC

三相永磁同步电机的驱动电路如下图所示；



根据图示电路可以发现在三相永磁同步电机的驱动电路中，三相逆变输出的三相电压为UAU_{A}UA​，UBU_{B}UB​，UCU_{C}UC​将作用于电机，那么在三相平面静止坐标系ABC中，电压方程满足以下公式：

{UA=UmcosθeUB=Umcos(θe+2π3)UC=Umcos(θe−2π3)\begin{cases}U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\
U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \\
U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​UA​=Um​cosθe​UB​=Um​cos(θe​+32π​)UC​=Um​cos(θe​−32π​)​

θe\theta_{e}θe​为电角度

UmU_{m}Um​为相电压基波峰值

所以根据上述公式可以发现，三相电压的大小是随时间变化的正弦波形，相位依次相差120°，具体如下图所示；

3 αβ\alpha\betaαβ 坐标系

由静止三相坐标系ABCABCABC变换到静止坐标系αβ\alpha\betaαβ的过程称之为Clarke变换；在αβ\alpha\betaαβ静止坐标系中，α\alphaα轴和β\betaβ轴的相位差为90°，且αβ\alpha\betaαβ的大小是随时间变化的正弦波形，具体如下图所示；



从自然坐标系ABCABCABC 变换到静止坐标系 αβ\alpha\betaαβ，满足以下条件：

[fαfβf0]=T3s/2s∗[fAfBfC]\begin{bmatrix}
f_{\alpha} \\
f_{\beta} \\
f_{0}
\end{bmatrix} = T_{3s/2s}*\begin{bmatrix}
f_{A} \\
f_{B} \\
f_{C}
\end{bmatrix} ⎣⎡​fα​fβ​f0​​⎦⎤​=T3s/2s​∗⎣⎡​fA​fB​fC​​⎦⎤​

其中T3S/2ST_{3S/2S}T3S/2S​为变换矩阵：

T3S/2S=N∗[1−12−12032−32222222]T_{3S/2S} = N*\begin{bmatrix}
1 &-\cfrac{1}{2} &-\cfrac{1}{2} \\
\\
0 &\cfrac{\sqrt{3}}{2} &-\cfrac{\sqrt{3}}{2} \\
\\
\cfrac{\sqrt{2}}{2} &\cfrac{\sqrt{2}}{2} &\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} T3S/2S​=N∗⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1022​​​−21​23​​22​​​−21​−23​​22​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

注意：NNN为系数，做等幅值变换和等功率变换NNN系数不同；

等幅值变换 N=23N =\cfrac{2}{3}N=32​

等功率变换 N=23N =\sqrt\cfrac{2}{3}N=32​​

下面均为等幅值变换

3.1 Clarke变换

三相电流ABCABCABC分别为iAi_{A}iA​，iBi_{B}iB​，iCi_{C}iC​，根据基尔霍夫电流定律满足以下公式：

iA+iB+iC=0i_{A}+i_{B}+i_{C} = 0iA​+iB​+iC​=0

静止坐标系αβ\alpha\betaαβ，α\alphaα轴的电流分量为iαi_{\alpha}iα​，iβi_{\beta}iβ​，则Clark变换满足以下公式：

iα=iAiβ=13∗iA+23∗iBi_{\alpha} = i_{A} \\
\\
i_{\beta} = \cfrac{1}{\sqrt{3}}*i_{A}+\cfrac{2}{\sqrt{3}}*i_{B}iα​=iA​iβ​=3​1​∗iA​+3​2​∗iB​

在matlab的simulink仿真如下图所示；



最终得到三相电流iAi_{A}iA​，iBi_{B}iB​，iCi_{C}iC​的仿真结果如下；



得到 αβ\alpha\betaαβ 坐标的 iαi_{\alpha}iα​ 和 iβi_{\beta}iβ​ 的仿真结果如下图所示；



由上述两张图分析可以得到，等幅值Clark变换前后峰值不变，αβ\alpha\betaαβ坐标系中iαi_{\alpha}iα​和iβi_{\beta}iβ​相位相差90°。

3.2 Clarke反变换

暂略

Clarke反变换的simulink仿真如下图所示；

4 dqdqdq 坐标系

dqdqdq 坐标系相对与定子来说是旋转的坐标系，转速的角速度和转子旋转的角速度相同，所以，相当于转子来说，dqdqdq 坐标系就是静止的坐标系；而idi_{d}id​和iqi_{q}iq​则是恒定不变的两个值，具体如下图所示；



根据物理结构，我们发现；

ddd 轴方向与转子磁链方向重合，又叫直轴；

qqq 轴方向与转子磁链方向垂直，又叫交轴；

ddd轴和q轴q轴q轴如下图所示；

4.1 Park变换

Park变换的本质是静止坐标系αβ\alpha\betaαβ乘以一个旋转矩阵，从而得到dqdqdq坐标系，其中满足以下条件：

[fdfq]=T2s/2r∗[fαfβ]\begin{bmatrix}
f_{d} \\
f_{q} \end{bmatrix} = T_{2s/2r}*\begin{bmatrix}
f_{\alpha} \\
f_{\beta}
\end{bmatrix} [fd​fq​​]=T2s/2r​∗[fα​fβ​​]

其中T2s/2rT_{2s/2r}T2s/2r​为旋转矩阵，所以，park变换和park反变换其根本就是旋转矩阵不同，T2s/2rT_{2s/2r}T2s/2r​可以表示为：

T2s/2r=[cosθesinθe−sinθecosθe]T_{2s/2r} = \begin{bmatrix}
cos\theta_{e} & sin\theta_{e} \\
-sin\theta_{e} & cos\theta_{e}
\end{bmatrix} T2s/2r​=[cosθe​−sinθe​​sinθe​cosθe​​]

T2s/2rT_{2s/2r}T2s/2r​ 含义为 2∗stator2*stator2∗stator ==> 2∗rotor2*rotor2∗rotor

2轴定子坐标系转换到2轴转子坐标系

由上式可以得到：

{id=iα∗cosθ+iβ∗sinθiq=−iα∗sinθ+iβ∗cosθ\begin{cases}i_{d}=i_{\alpha}*cos\theta+i_{\beta}*sin\theta \\
i_{q}=-i_{\alpha}*sin\theta+i_{\beta}*cos\theta\end{cases}{id​=iα​∗cosθ+iβ​∗sinθiq​=−iα​∗sinθ+iβ​∗cosθ​

其中simulink仿真如下图所示；



作为输入的 iαi_{\alpha}iα​ 和 iβi_{\beta}iβ​，仿真波形如下图所示；



最终经过Park变换得到idi_{d}id​和iqi_{q}iq​如下图所示；



可以看到，idi_{d}id​和iqi_{q}iq​是恒定值，所以Park变换也叫做交直变换，由输入的交流量，最终变换到相对与转子坐标的直流量。

在实际写FOC的过程中对于这块变换产生了一个疑问；这里再区分一下正转和反转的情况，以此来说明一下Id和Iq的实际中的作用；

下面先规定一个方向为反转；

正转

通常，大部分书籍以及论文中的正转输入的三相波形如下：

{UA=UmcosθeUB=Umcos(θe−2π3)UC=Umcos(θe+2π3)\begin{cases}U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\
U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \\
U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​UA​=Um​cosθe​UB​=Um​cos(θe​−32π​)UC​=Um​cos(θe​+32π​)​

反转

{UA=UmcosθeUB=Umcos(θe+2π3)UC=Umcos(θe−2π3)\begin{cases}U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\
U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \\
U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​UA​=Um​cosθe​UB​=Um​cos(θe​+32π​)UC​=Um​cos(θe​−32π​)​

4.2 Park反变换

Park反变换又叫直交变换，由dqdqdq轴的直流量，最终变换到αβ\alpha\betaαβ的交流量，其中满足变换条件如下：

[fdfq]=T2r/2s∗[fαfβ]\begin{bmatrix}
f_{d} \\
f_{q} \\
\end{bmatrix} = T_{2r/2s}*\begin{bmatrix} f_{\alpha} \\
f_{\beta} \\
\end{bmatrix} [fd​fq​​]=T2r/2s​∗[fα​fβ​​]

其中T2s/2rT_{2s/2r}T2s/2r​为Park变换的逆矩阵，所以，存在条件：

T2r/2s=T2r/2s−1=[cosθe−sinθesinθecosθe]T_{2r/2s} = T_{2r/2s}^{-1} = \begin{bmatrix}
cos\theta_{e} & -sin\theta_{e} \\
sin\theta_{e} & cos\theta_{e} \\
\end{bmatrix}T2r/2s​=T2r/2s−1​=[cosθe​sinθe​​−sinθe​cosθe​​]

最终由上式可以得到：

{iα=id∗cosθ−iq∗sinθiβ=id∗sinθ+iq∗cosθ\begin{cases}i_{\alpha}=i_{d}*cos\theta-i_{q}*sin\theta \\
i_{\beta}=i_{d}*sin\theta+i_{q}*cos\theta\end{cases}{iα​=id​∗cosθ−iq​∗sinθiβ​=id​∗sinθ+iq​∗cosθ​

仿真暂略。

5 程序实现

坐标变换的C程序主要基于TI的IQMATH库进行实现，详情已经提交到附件。

如何使用这个库可以参考《STM32 使用IQmath实现SVPWM》

附件

链接：https://pan.baidu.com/s/1s2qU5wA2LMSmed51q-Jayw

提取码：irm2