C 最大公约数&最小公倍数

1、最大公约数  链接

如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

1.1整除

若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数 为零， 我们就说b能被a整除（或说a能整除b），b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。

1.2辗转相除法

又叫【欧几里德算法】

用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数（即除数）就是最大公约数

1.3 代码

/*
欧几里德算法：辗转求余
原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
当b为0时，两数的最大公约数即为a
getchar()会接受前一个scanf的回车符
*/
#include<stdio.h>
unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N)
{
    unsigned int Rem;
    while(N > 0)
    {
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }
    return M;
}
int main(void)
{
    int a,b;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    printf("the greatest common factor of %d and %d is ",a,b);
    printf("%d\n",Gcd(a,b));
    return 0;
}

2最小公倍数  链接

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。

2.1计算方法

2.1.1 分解质因数法

先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）

例如：　45=3*3*5
　　　　30=2*3*5
　　　　不同的质因数是2。5，3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3.
　　　　最小公倍数等于2*3*3*5=90

2.1.2 公式法

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

例如：　　求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。

求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。

2.2 代码

#include<stdio.h>

int gcd(int a,int b);
int lcm(int a,int b);
int main(void)
{
    int m,n,result_gcd,result_lcm;

    printf("求两个数的最大公约数及最小公倍数？\n请输入你想计算的两个数：\n");
    scanf("%d%d",&m,&n);
    result_gcd=gcd(m,n);
    result_lcm=lcm(m,n);
    printf("最大公约数为：%d\n最小公倍数为：%d\n",result_gcd,result_lcm);

    return 0;
}

int gcd(int a,int b)
{
    int temp;
    if(a<b)
    {
//交换两个数，使大数放在a上
        temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    while(b!=0)
    {
//利用辗除法，直到b为0为止
        temp=a%b;
        a=b;
        b=temp;
    }
    return a;
}

int lcm(int a,int b)
{
    int temp_lcm;
    temp_lcm=a*b/gcd(a,b);//最小公倍数等于两数之积除以其最大公约数
    return temp_lcm;
}