[洛谷P4388] 付公主的矩形

18.09.09模拟赛T1。

一道数学题。

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首先把对角线当成是某个点的移动轨迹，从左下到右上。

那么这个点每上升一个单位长度，就穿过一个格子。

每右移一个单位长度，也会穿过一个格子。

例外：穿过格点，会减少穿过的格子数。

初步的结论：R*C的矩形，对角线穿过的格子数N=R+C-gcd(R,C)。

那么我们只需算出这个方程的解的个数。

可以看出，R、C和gcd(R,C)都是gcd(R,C)的倍数。

那么N显然也是。

设N/gcd(R,C)=n，R/gcd(R,C)=r，C/gcd(R,C)=c。

方程两边同除gcd(R,C)：n=r+c-1。

由欧几里得算法可得：gcd(n+1,r)=gcd(n+1-r,r)=gcd( (r+c-1) +1-r,r)=gcd(c,r)。

这时候r和c一定是互质的，假如它们有公因数，在除以gcd(R,C)时就会被除掉。

所以：gcd(r,c)=1。得：gcd(n+1,r)=1。

即：n+1与r互质，n是N得因数。

答案即为：

所以我们线性筛出从2到n+1的欧拉函数phi [ i ]，挑出其中i-1是n的因数的，把它们的phi [ i ]加起来就行了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 int n,cnt,ans;
 int pr[];
 bool v[];
 int phi[];

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n+;i++)
     {
         if(!v[i])
         {
             pr[++cnt]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         if(n%(i-)==)ans+=phi[i];
         for(int j=;(j<=cnt)&&(i*pr[j]<=n+);j++)
         {
             v[i*pr[j]]=true;
             if(i%pr[j]==)
             {
                 phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                 break;
             }else
             {
                 phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];
             }
         }
     }
     printf("%d",(ans+)/);
     return ;
 }