【cf789D】Weird journey（欧拉路、计数）

cf788B/789D. Weird journey

题意

n个点m条边无重边有自环无向图，问有多少种路径可以经过m-2条边两次，其它两条边1次。边集不同的路径就是不同的。

题解

将所有非自环的边变成两份。然后去掉两条边，看有没有欧拉路。

如果两条边都不是自环，那么只当他们相邻时（共享一个点），剩下的图有两个奇数度的点。有欧拉路。所以第i个点作为共享的点，有\(C(cnt_i,2)\)种路径。

如果其中一个是自环，那么其他m-1条边任意选一个都可以。有loop*（m-1）条，不过每个自环算了两次。所以要减去C(loop,2)。

注意判断一下图是不是联通的，不联通答案是0。

代码

const int N=1001000;
int f[N];
int n,m;
VI e[N];
int find(int x){
	return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
ll loop;
ll ans;
bool o[N];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);//！！！TLE
	cin>>n>>m;
	rep(i,1,n+1)f[i]=i;

	int u,v;
	rep(i,0,m){
		cin>>u>>v;
		o[u]=o[v]=1;
		if(u==v)++loop;
		int fu=find(u),fv=find(v);
		if(fu!=fv)f[fu]=fv;
		if(u!=v){e[u].pb(v);e[v].pb(u);}
	}
	rep(i,1,n+1)if(o[i]&&find(i)!=find(u))ans=-1;//o[i]：出现过的点。
	if(~ans){
		ans=loop*(m-1)-(loop-1)*loop/2;
		rep(i,1,n+1)ans+=(ll)(SZ(e[i])-1)*SZ(e[i])/2;
		cout<<ans<<endl;
	}
	else cout<<"0";
	return 0;
}