【UOJ347】【WC2018】通道 边分治 虚树 DP

题目大意

　　给你三棵树，点数都是\(n\)。求

\[\max_{i,j}d_1(i,j)+d_2(i,j)+d_3(i,j)
\]

　　其中\(d_k(i,j)\)是在第\(k\)棵数中\(i,j\)两点之间的距离。

　　\(n\leq 100000\)

题解

　　设\(d(i,j)=d_1(i,j)+d_2(i,j)+d_3(i,j),h_k(i)\)为\(i\)号点在第\(k\)棵树上的深度

一棵树

　　树形DP。

　　时间复杂度：\(O(n)\)

两棵树

　　这是一道集训队自选题。

　　点分治+动态点分治

　　设这两个点在第一棵树中的LCA是\(p\)，那么\(d(i,j)=h_1(i)+h_1(j)-2h_1(p)+d_2(i,j)\)

　　在第二棵树中，对于每个点\(i\)，建立一个新点\(i'\)，在\(i\)和\(i'\)之间连一条边权为\(h_1(i)\)的边。

　　这样\(d(i,j)=d_2(i,j)-2h_1(p)\)

　　我们从下往上枚举\(p\)，每次查询这棵子树的点在第二棵树中的直径。

　　合并直径可以直接合并两个端点。

　　时间复杂度：\(O(n\log n)\)

两棵树+一条链

　　考虑对链分治。

　　每次只求经过当前链中间那个点（或者那条边）的答案。

　　\(d(i,j)=h_1(i)+h_1(j)-2h_1(p)+d_2(i,j)+|l_i-l_j|\)

三棵树

　　考虑对第三棵树进行边分治。

　　先把第三棵树转成二叉树

　　然后直接边分治就行了。

　　因为每个点的度数\(\leq 3\)，所以边分治的复杂度是对的。

　　求LCA可以用dfs序+ST表。

　　还要维护当前部分在第一棵树的dfs序。

　　时间复杂度：\(O(n\log n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int n;
vector<pil> g1[400010],g2[400010],g3[400010],g4[400010];
int lastson[400010];
int f1[400010];
int f2[400010];
int f3[400010];
ll d1[400010];
ll d2[400010];
ll d3[400010];
int dep1[400010];
ll w3[400010];
int st[400010];
int ed[400010];
int st1[400010];
int ed1[400010];
pli fs[21][400010];
pii fs1[21][200010];
int lo[400010];
int ti;
int ti1;
void dfs1(int x,int fa,ll dep,int dep2)
{
	f1[x]=fa;
	d1[x]=dep;
	dep1[x]=dep2;
	fs1[0][++ti1]=pii(dep2,x);
	st1[x]=ti1;
	for(auto v:g1[x])
		if(v.first!=fa)
		{
			dfs1(v.first,x,dep+v.second,dep2+1);
			fs1[0][++ti1]=pii(dep2,x);
		}
	ed1[x]=ti1;
}
void dfs2(int x,int fa,ll dep)
{
	f2[x]=fa;
	d2[x]=dep;
	fs[0][++ti]=pli(dep,x);
	st[x]=ti;
	for(auto v:g2[x])
		if(v.first!=fa)
		{
			dfs2(v.first,x,dep+v.second);
			fs[0][++ti]=pli(dep,x);
		}
	ed[x]=ti;
}
void dfs3(int x,int fa,ll dep)
{
	f3[x]=fa;
	d3[x]=dep;
	for(auto v:g3[x])
		if(v.first!=fa)
		{
			w3[v.first]=v.second;
			dfs3(v.first,x,dep+v.second);
		}
}
void buildst()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=20;i++)
		for(j=1;j+(1<<i)-1<=ti;j++)
			fs[i][j]=min(fs[i-1][j],fs[i-1][j+(1<<(i-1))]);
	for(i=1;i<=20;i++)
		for(j=1;j+(1<<i)-1<=ti1;j++)
			fs1[i][j]=min(fs1[i-1][j],fs1[i-1][j+(1<<(i-1))]);
	lo[1]=0;
	for(i=2;i<=ti;i++)
		lo[i]=lo[i>>1]+1;
}
int queryst1(int x,int y)
{
	int t=lo[y-x+1];
	return min(fs1[t][x],fs1[t][y-(1<<t)+1]).second;
}
int querylca1(int x,int y)
{
	if(st1[x]>st1[y])
		swap(x,y);
	return queryst1(st1[x],ed1[y]);
}
int queryst(int x,int y)
{
	int t=lo[y-x+1];
	return min(fs[t][x],fs[t][y-(1<<t)+1]).second;
}
int querylca(int x,int y)
{
	if(st[x]>st[y])
		swap(x,y);
	return queryst(st[x],ed[y]);
}
ll c[400010];
ll querydist(int x,int y,ll z=0)
{
	if(!x&&!y)
		return -1;
	if(!x||!y)
		return 0;
	return d2[x]+d2[y]-2*d2[querylca(x,y)]+c[x-n]+c[y-n]-2*z;
}
struct graph
{
	int v[400010];
	int t[400010];
	int b[400010];
	ll w[400010];
	int h[200010];
	int n;
	graph()
	{
		n=0;
	}
	void add(int x,int y,ll z)
	{
		n++;
		v[n]=y;
		w[n]=z;
		t[n]=h[x];
		h[x]=n;
	}
};
graph g;
void init()
{
	int i;
	int x,y;
	ll z;
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
		g1[x].push_back(pil(y,z));
		g1[y].push_back(pil(x,z));
	}
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
		g2[x].push_back(pil(y,z));
		g2[y].push_back(pil(x,z));
	}
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
		g3[x].push_back(pil(y,z));
		g3[y].push_back(pil(x,z));
	}
	dfs1(1,0,0,0);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		g2[i].push_back(pil(i+n,d1[i]));
		g2[i+n].push_back(pil(i,d1[i]));
	}
	dfs2(1,0,0);
	buildst();
	dfs3(1,0,0);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		g.add(i,i+n,w3[i]);
		g.add(i+n,i,w3[i]);
		if(f3[i])
		{
			if(lastson[f3[i]])
			{
				g.add(i+n,lastson[f3[i]],0);
				g.add(lastson[f3[i]],i+n,0);
			}
			else
			{
				g.add(i+n,f3[i],0);
				g.add(f3[i],i+n,0);
			}
			lastson[f3[i]]=i+n;
		}
	}
}
int cmp1(int x,int y)
{
	return st1[x]<st1[y];
}
int b[400010];
ll ans=0;
struct pp
{
	int x,y;
	ll v;
	pp(int a=0,int b=0,ll c=-1)
	{
		x=a;
		y=b;
		v=c;
	}
};
int operator >(pp a,pp b){return a.v>b.v;}
int operator <(pp a,pp b){return a.v<b.v;}
typedef pair<pp,pp> ppp;
ppp f[400010];
int x1,x2,num,sz;
ll xv;
int s[400010];
int tag[400010];
void dfs11(int x,int fa)
{
	int i;
	s[x]=1;
	for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
		if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
		{
			dfs11(g.v[i],x);
			s[x]+=s[g.v[i]];
		}
}
void dfs12(int x,int fa)
{
	int i;
	for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
		if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
		{
			int mx=max(s[g.v[i]],num-s[g.v[i]]);
			if(mx<sz)
			{
				sz=mx;
				x1=x;
				x2=g.v[i];
				xv=g.w[i];
			}
			dfs12(g.v[i],x);
		}
}
int op(int x)
{
	return ((x-1)^1)+1;
}
void dfs13(int x,int fa,int b=1)
{
	tag[x]=b;
	int i;
	for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
		if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
		{
			int t=b;
			if(g.v[i]==x2)
			{
				t=2;
				g.b[i]=1;
				g.b[op(i)]=1;
			}
			dfs13(g.v[i],x,t);
		}
}
void dfs14(int x,int fa,ll dep)
{
	c[x]=dep;
	int i;
	for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
		if(!g.b[i]&&g.v[i]!=fa)
			dfs14(g.v[i],x,dep+g.w[i]);
}
int sta[400010];
int top;
void updateans(pp a,pp b,ll z)
{
	ans=max(ans,querydist(a.x,b.x,z));
	ans=max(ans,querydist(a.x,b.y,z));
	ans=max(ans,querydist(a.y,b.x,z));
	ans=max(ans,querydist(a.y,b.y,z));
}
pp getmax(pp a,pp b,ll z)
{
	return max(max(max(pp(a.x,a.y,querydist(a.x,a.y,z)),pp(a.x,b.x,querydist(a.x,b.x,z))),pp(a.x,b.y,querydist(a.x,b.y,z))),max(max(pp(b.x,b.y,querydist(b.x,b.y,z)),pp(a.y,b.x,querydist(a.y,b.x,z))),pp(a.y,b.y,querydist(a.y,b.y,z))));
}
void update(int x,int y)
{
	updateans(f[x].first,f[y].second,d1[y]);
	updateans(f[x].second,f[y].first,d1[y]);
	f[y].first=getmax(f[x].first,f[y].first,d1[y]);
	f[y].second=getmax(f[x].second,f[y].second,d1[y]);
}
void solve(int x,vector<int> &q)
{
	if(q.empty())
		return;
	dfs11(x,0);
	if(s[x]<=1)
		return;
	num=s[x];
	sz=0x7fffffff;
	dfs12(x,0);
	dfs13(x,0);
	dfs14(x1,0,0);
	dfs14(x2,0,xv);
	int last=0;
	top=0;
	int v1=q.front();
	int v2=q.back();
	int vlca=querylca1(v1,v2);
	if(vlca!=v1)
	{
		sta[++top]=vlca;
		f[vlca]=ppp();
	}
	for(auto v:q)
	{
		if(tag[v]==1)
			f[v]=ppp(pp(v+n,0,0),pp());
		else
			f[v]=ppp(pp(),pp(v+n,0,0));
		if(last)
		{
			int lca=querylca1(last,v);
			while(dep1[lca]<dep1[sta[top]])
			{
				if(dep1[lca]<=dep1[sta[top-1]])
				{
					update(sta[top],sta[top-1]);
					top--;
				}
				else
				{
					f[lca]=ppp();
					update(sta[top],lca);
					top--;
					sta[++top]=lca;
				}
			}
		}
		sta[++top]=v;
		last=v;
	}
	while(top>=2)
	{
		update(sta[top],sta[top-1]);
		top--;
	}
	vector<int> q1,q2;
	for(auto v:q)
		if(tag[v]==1)
			q1.push_back(v);
		else
			q2.push_back(v);
	v1=x1;
	v2=x2;
	solve(v1,q1);
	solve(v2,q2);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("uoj347.in","r",stdin);
	freopen("uoj347.out","w",stdout);
#endif
	scanf("%d",&n);
	init();
	vector<int> ss;
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
		ss.push_back(i);
	sort(ss.begin(),ss.end(),cmp1);
	solve(1,ss);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}