UOJ#347. 【WC2018】通道 边分治 虚树

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ347.html

题意

　　有三棵树，边有边权。

　　对于所有点对 (x,y) 求在三棵树上 x 到 y 的距离之和 的最大值。

　　点数 <=100000

题解

　　我自闭了。

　　在此之前，我没写过边分治，只写过一次虚树。

　　我自闭了。

　　一棵树怎么做？

　　树的直径。

　　两棵树怎么做？

　　有一个定理：从点集A中的点到点集B中的点的最长路径的两端点一定属于   点集A中最长路两端点和点集B中最长路两端点  构成的集合。

　　首先，在第一棵树上，我们求出每一个点的深度（即到根距离），记点 x 的深度为 D[x] 。则点 x 到 点 y 在这两棵树上的距离之和为 D[x]+D[y]-2D[LCA(x,y)] + dis(x,y) 。（其中dis(x,y) 代表在第二棵树上的距离）

　　我们考虑在第二棵树上，对于任意一个点 x ，新建节点 x' , x' 仅和 x 有一条权值为 D[x] 的边。那么 x 到 y 的距离就是 dis(x',y') - 2D[LCA(x,y)] 。我们考虑对第一棵树进行dfs，对于每一个节点，依次将子树点集中的最远点对合并到父亲上来（这里要用到之前说的定理），顺便更新答案即可。

　　那么三棵树呢？

　　给多出来的那棵树边分治一下，将第三棵树中的边 (x,x') 的权值修改成 D[x] + 在第三棵树中 x 到边分中心的距离。注意边分的时候作为边分中心的那条边的权值不要忘记加上。

　　对于第三棵树中分治出来的点集，我们需要在第二棵树上建虚树。

　　实际写代码的时候，节点 x' 以及边 (x,x') 都是不用加上的。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=100005*2;
const LL INF=5e17;
int n,m;
struct Gragh{
	static const int M=N*2;
	int cnt,y[M],nxt[M],fst[N];
	LL z[M];
	void clear(){
		cnt=1;
		memset(fst,0,sizeof fst);
	}
	void add(int a,int b,LL c){
		y[++cnt]=b,z[cnt]=c,nxt[cnt]=fst[a],fst[a]=cnt;
	}
}g[4],G;
#define For(i,y,g,x) for (LL i=g.fst[x],y=g.y[i];i;i=g.nxt[i],y=g.y[i])
#define Foryx(y,g,x) For(_index,y,g,x)
#define Fory(y,g) Foryx(y,g,x)
#define Forg(g) Fory(y,g)
int fa[4][N][17],depth[4][N];
LL len[4][N],addv[N];
int I[N],O[N],_Time=0;
void dfs1(int _id,int x,int pre,int d,LL L){
	fa[_id][x][0]=pre;
	for (int i=1;i<17;i++)
		fa[_id][x][i]=fa[_id][fa[_id][x][i-1]][i-1];
	depth[_id][x]=d,len[_id][x]=L;
	Forg(g[_id])
		if (y!=pre)
			dfs1(_id,y,x,d+1,L+g[_id].z[_index]);
}
void dfs2(int x,int pre){
	I[x]=++_Time;
	Forg(g[2])
		if (y!=pre)
			dfs2(y,x);
	O[x]=_Time;
}
int LCA(int id,int x,int y){
	if (depth[id][x]<depth[id][y])
		swap(x,y);
	for (int i=16;i>=0;i--)
		if (depth[id][x]-(1<<i)>=depth[id][y])
			x=fa[id][x][i];
	if (x==y)
		return x;
	for (int i=16;i>=0;i--)
		if (fa[id][x][i]!=fa[id][y][i])
			x=fa[id][x][i],y=fa[id][y][i];
	return fa[id][x][0];
}
LL Dis(int id,int x,int y){
	return len[id][x]+len[id][y]-len[id][LCA(id,x,y)]*2;
}
void dfs3(Gragh &g1,Gragh &g2,int x,int pre){
	int p=x;
	Forg(g1)
		if (y!=pre){
			m++;
			g2.add(p,m,0),g2.add(m,p,0);
			g2.add(y,m,g1.z[_index]);
			g2.add(m,y,g1.z[_index]);
			p=m;
		}
	Forg(g1)
		if (y!=pre)
			dfs3(g1,g2,y,x);
}
void rebuild(Gragh &g,Gragh &res){
	res.clear(),m=n;
	dfs3(g,res,1,0);
}
int vis[N],size[N],Size,ckv[N];
int RT,RTF,Time=0;
LL LEN;
vector <int> node;
void dfs4(int x,int pre){
	if (x<=n)
		node.push_back(x);
	size[x]=1;
	Forg(g[0])
		if (y!=pre&&!vis[y])
			dfs4(y,x),size[x]+=size[y];
	ckv[x]=max(size[x],Size-size[x]);
	if (!RT||ckv[x]<ckv[RT])
		RT=x,RTF=pre;
}
int tag[N];
LL ans;
void dfs5(int x,int pre,int Tag,LL D){
	tag[x]=Tag,addv[x]=D;
	Forg(g[0])
		if (y!=pre&&!vis[y])
			dfs5(y,x,Tag,D+g[0].z[_index]);
}
LL SpDis(int a,int b){
	if (!a||!b)
		return -INF;
	return Dis(3,a,b)+addv[a]+addv[b];
}
bool cmpI(int x,int y){
	return I[x]<I[y];
}
bool isfather(int x,int y){//x is father of y
	return I[x]<=I[y]&&I[y]<=O[x];
}
struct road{
	int x,y;
	LL len;
	road(){}
	road(int _x,int _y,LL _len){
		x=_x,y=_y,len=_len;
	}
}r0[N],r1[N];
void Updr(road &a,road b){
	LL d1=a.len,d2=SpDis(a.x,b.x),d3=SpDis(a.x,b.y);
	LL d4=b.len,d5=SpDis(a.y,b.x),d6=SpDis(a.y,b.y);
	LL mx=max(d1,max(d2,max(d3,max(d4,max(d5,d6)))));
	if (d1==mx)
		a=road(a.x,a.y,d1);
	else if (d2==mx)
		a=road(a.x,b.x,d2);
	else if (d3==mx)
		a=road(a.x,b.y,d3);
	else if (d4==mx)
		a=road(b.x,b.y,d4);
	else if (d5==mx)
		a=road(a.y,b.x,d5);
	else
		a=road(a.y,b.y,d6);
}
void Upda(road a,road b,LL Add){
	ans=max(ans,SpDis(a.x,b.x)+Add);
	ans=max(ans,SpDis(a.x,b.y)+Add);
	ans=max(ans,SpDis(a.y,b.x)+Add);
	ans=max(ans,SpDis(a.y,b.y)+Add);
}
void solve3(int x,int pre,LL D,LL Addlen){
	addv[x]+=D,r0[x]=r1[x]=road(0,0,-INF);
	if (tag[x]==-Time)
		Updr(r0[x],road(x,x,0));
	if (tag[x]==Time)
		Updr(r1[x],road(x,x,0));
	Forg(G){
		solve3(y,x,D+G.z[_index],Addlen);
		Upda(r0[x],r1[y],Addlen-D*2);
		Upda(r1[x],r0[y],Addlen-D*2);
		Updr(r0[x],r0[y]);
		Updr(r1[x],r1[y]);
	}
}
void make_tree(LL Addlen){
	static int st[N],top;
	top=st[0]=0;
	if (abs(tag[1])!=Time)
		node.push_back(1);
	sort(node.begin(),node.end(),cmpI);
	G.cnt=1;
	for (auto x : node){
		if (top>0&&!isfather(st[top],x)){
			while (top>1&&!isfather(st[top-1],x))
				G.add(st[top-1],st[top],len[2][st[top]]-len[2][st[top-1]]),top--;
			int y=LCA(2,st[top],x);
			if (y!=st[top-1])
				G.fst[y]=0;
			G.add(y,st[top],len[2][st[top]]-len[2][y]);
			top--;
			if (y!=st[top])
				st[++top]=y;
		}
		G.fst[x]=0,st[++top]=x;
	}
	for (int i=1;i<top;i++)
		G.add(st[i],st[i+1],len[2][st[i+1]]-len[2][st[i]]);
	solve3(1,0,0,Addlen);
}
void solve(int _x){
	if (Size==1)
		return;
	Time++,RT=RTF=0;
	node.clear();
	dfs4(_x,0);
	int x=RT,y=RTF;
	dfs5(x,y,Time,0);
	dfs5(y,x,-Time,0);
	for (int i=g[0].fst[x];i;i=g[0].nxt[i])
		if (g[0].y[i]==y){
			LEN=g[0].z[i];
			break;
		}
	make_tree(LEN);
	int sz1=size[x],sz2=Size-sz1;
	vis[y]=1,Size=sz1,solve(x),vis[y]=0;
	vis[x]=1,Size=sz2,solve(y),vis[x]=0;
}
int main(){
	n=read();
	for (int t=1;t<=3;t++){
		g[t].clear();
		for (int i=1;i<n;i++){
			int x=read(),y=read();
			LL z=read();
			g[t].add(x,y,z);
			g[t].add(y,x,z);
		}
	}
	dfs1(2,1,0,0,0);
	dfs1(3,1,0,0,0);
	dfs2(1,0);
	clr(addv),clr(vis);
	rebuild(g[1],g[0]);
	Size=m,ans=0;
	solve(1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}