几何学观止（Lie群部分）

上承这个页面，这次把Lie群的部分写完了

• 几何学观止-微分几何部分（20181102）.pdf

我觉得其他部分（尤其是代数几何部分）我目前没有把握写得令自己满意，总之希望在毕业前能写完吧。

这次调整了记号，我希望用更加自明和轻便的记号来描述几何，这或许和主流记号存在出入，例如切向量场大部分作者会记为$X(M)$，我则记为$\mathsf{Vec}(M)$，例如余切映射大部分作者会记为$f^*$，我则记为$\circ f$，每章都有独立的记号表。

附1：Lie群简介

所谓 Lie 群就是具有微分结构的群. 如果将离散和连续 (光滑)作为数学研究的两个世界, 那么 Lie 群就对应着离散群. 离散群如果用以描述离散对象的对称性, 那么 Lie 群就用以描述连续 (光滑) 对象的对称性.

附2：一些几何概念的类比

• 微分流形：一个点一个向量场，决定一条积分曲线；Riemann流形：一个点一个切向量决定测地线，从而可以定义指数映射；Lie群：一个点一个切向量可以定义左不变切向量场，从而决定积分曲线，从而可以定义指数映射。
• 微分流形：$n$维流形上$n$形式的积分；Riemann流形：$n$维Riemann流形的体积元；Lie群：$n$维Lie群的左不变$n$-形式。
• 群：生成子群；Lie群：单参数变换群。群：无挠；Lie群：单连通。群：有限；群：紧致。

附3：记号表