[计蒜客] 矿石采集【记搜、Tarjan缩点+期望Dp】

Online Judge：计蒜客信息学3月提高组模拟赛

Label：记搜，TarJan缩点，树状数组，期望Dp

题解

整个题目由毫无关联的两个问题组合成：

part1

问题：对于每个询问的起点终点，求出起点到终点能够收获的最大矿石价值。

思路：

1.矿石种类不多，且收获价值时只与是否拥有有关，与收集数量无关，可以用状态压缩表示当前收集矿石的状态；

2.由于是单向边且可能形成环，用\(Tarjan\)缩点，然后进行转移。或者直接记忆化dfs/bfs，用\(dp[i][j][sta]\)表示，从\(i\)到\(j\)，是否有可能收集到状态为\(sta\)的矿石。最后求一遍最大值即可。

part2

问题：安排执行哪些委托，使得期望获利最大。

思路：

1.整理委托的信息：

对于一份委托\((yi,si,ti,pi,ci,li)\)，我们可以根据\((si,ti)\)以及前一个部分的预处理来计算出这份委托的收益(还没减去成本)\(wi\)；这份委托的开始时间和结束时间\((yi,yi+li)\)，这里简记为\((l,r)\)。这样我们可以用一个结构体表示一份委托{\(l,r,w,c,p\)}。

2.确定转移顺序

毫无疑问先根据开始时间\(li\)排序所有委托。

定义状态\(dp[i]\)，表示已经考虑了\(i..q\)的委托，且接受了委托\(i\)时的最大期望获利。接着只用倒序转移即可。对于当前的委托\(i\)，我们利用二分查找在\(O(logq)\)的时间内，找到第一个开始时间大于等于当前委托结束时间的委托\(j\)。然后转移方程为：\(dp[i]=max(dp[j...q]+w_i)*(1-p_i)-c_i\)，这个很好理解就不解释了，而区间\([j,q]\)的最大值可以用树状数组/线段树维护。

这题就结束了，主要难点是题目变量比较多，只要理清关系分成两个问题求解就好了。

part1的做法比较多，不过由于数据范围小都可行。part2的时间复杂度为\(O(NlogN)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110,M=210,Q=1e5+10;
int val[1030];
int n,m,k,q,has[N];

struct edge{int to,nxt;}e[M];
int head[N],cnt;
inline void link(int u,int v){
	e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
}

bool ok[N][N][1030];
void dfs(int s,int x,int sta){
	if(ok[s][x][sta])return;
	ok[s][x][sta]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
		int y=e[i].to;dfs(s,y,sta|has[y]);
	}
}
struct Node{
	int l,r,w,c;
	double p;
}x[Q];
inline bool cmp(Node a,Node b){return a.l<b.l;}
void pre(){
	for(register int i=1;i<=n;i++)dfs(i,i,has[i]);
	for(register int i=1,u,v;i<=q;i++){
		scanf("%d%d%d%lf%d%d",&x[i].l,&u,&v,&x[i].p,&x[i].c,&x[i].r);
		x[i].r+=x[i].l;
		for(register int o=0;o<(1<<k);o++)if(ok[u][v][o]){
			if(val[o]>x[i].w)x[i].w=val[o];
		}
	}
}
double c[Q];
inline double ask(int x){
	double res=0;
	while(x<=q){res=max(res,c[x]);x+=x&(-x);}
	return res;
}
inline void update(int x,double d){
	while(x){c[x]=max(c[x],d);x-=x&(-x);}
}
inline void Dp(){
	sort(x+1,x+q+1,cmp);
	for(register int i=q;i>=1;i--){
		//如果接受i委托，下一个最早能进行的委托是id
		int l=i+1,r=q,id=q+1;
		while(l<=r){
			int mid=l+r>>1;
			if(x[i].r<=x[mid].l)r=mid-1,id=mid;
			else l=mid+1;
		}
		double now=(ask(id)+x[i].w)*(1.0-x[i].p)-x[i].c;
		update(i,now);
	}
	printf("%.6f\n",ask(1));
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&q);
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		char s[12];scanf("%s",s);
		for(int j=0;j<strlen(s);j++)if(s[j]=='1')has[i]|=1<<j;
	}
	for(register int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		link(u,v);
	}
	for(register int i=0,w;i<k;i++){
		scanf("%d",&w);
		for(int j=0;j<(1<<k);j++)if((1<<i)&j)val[j]+=w;
	}
	pre();
	Dp();
}