[bzoj2326] [洛谷P3216] [HNOI2011] 数学作业

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想法##

最初的想法就是记录当前 \(%m\) 值为cur，到下一个数时 \(cur=cur \times 10^x + i\)

n这么大，那就矩阵乘法呗。

矩阵乘法使用的要点就是有一个转移矩阵会不停的用到。

那么这道题中，1~n中所有位数相同的数转移矩阵都相同。

\[\begin{bmatrix}
ans & i &1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
10^x & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
ans' & i+1 & 1
\end{bmatrix}
\]

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代码##

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int SZ=6;

ll n,m;

struct matrix{
	ll a[SZ][SZ];
	matrix() { memset(a,0,sizeof(a)); }
	void init() { for(int i=0;i<SZ;i++) a[i][i]=1; }
	matrix operator * (const matrix &b) const{
		matrix c;
		for(int i=0;i<SZ;i++)
			for(int j=0;j<SZ;j++)
				for(int k=0;k<SZ;k++)
					(c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j])%=m;
		return c;
	}
	matrix operator *= (const matrix &b) { return *this=*this*b; }
};
matrix Pow_mod(matrix x,ll y){
	matrix ret; ret.init();
	while(y){
		if(y&1) ret*=x;
		x*=x;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);

	matrix a,b;
	b.a[0][2]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i*=10){
		a.a[1][0]=a.a[1][1]=a.a[2][0]=a.a[2][1]=a.a[2][2]=1;
		a.a[0][0]=(i*10)%m;
		a=Pow_mod(a,min(n-i+1,i*9));
		b=b*a;
	}
	printf("%lld\n",b.a[0][0]);

	return 0;
}