洛谷P3216 [HNOI2011] 数学作业 [矩阵加速，数论]

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数学作业

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 N和 M，要求计算 Concatenate (1 .. N)Mod M 的值，其中 Concatenate(1..N) 是将所有正整数1,2,…,N 顺序连接起来得到的数。例如，N=13 , Concatenate (1 .. N)=12345678910111213 .小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足 1≤N≤1000000 ；100%的数据满足 1≤N≤10^18 且 1≤M≤10^9 .

输出格式：

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

13 13

输出样例#1： 复制

　4

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　　分析：明显矩阵加速。代码打出来确实也就是个模板，但是中间矩阵的构造确实非(sang)常(xin)的(bing)难(kuang)。

　　首先分析，对于一个k位数x，很明显得到的结果应该是f(x)=f(x-1)*10^k+x;

　　那么经过一番简（yao）短（ming）的思考后，可以得到中间矩阵应该是

10^k	0	0
1	1	0
0	1	1

　　而初始矩阵应为:

0	1	1
0	0	0
0	0	0

　　那么剩下的就是矩阵加速模板了~

　　Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,mod;
struct Matrix{
    ll a[][];
    Matrix(){memset(a,,sizeof(a));}
    Matrix(ll b[][]){memcpy(a,b,sizeof(a));}
    friend Matrix operator * (const Matrix a,const Matrix b){
        Matrix ret;
        for(int i=;i<=;i++)
        for(int j=;j<=;j++)
        for(int k=;k<=;k++)
        ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+(a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod)%mod;
        return ret;
    }
}K,T;
int main()
{
    cin>>n>>mod;ll now=;
    K.a[][]=;K.a[][]=;K.a[][]=;
    for(ll i=;now<n;i*=){
        T.a[][]=i%mod;T.a[][]=;T.a[][]=;
        T.a[][]=;T.a[][]=;T.a[][]=;
        T.a[][]=;T.a[][]=;T.a[][]=;
        ll ka=min(i-,n)-now;
        while(ka){
            if(ka&)K=K*T;
            T=T*T;ka>>=;}
        now=min(i-,n);}
    cout<<K.a[][];return ;
}