HDU 5451——递推式&&循环节

题意

设 $y = (5+2\sqrt 6)^{1+2^x}$，给出 $x, M$（$0\leq x \leq 2^{32}, M \leq 46337$），求 $[y]\%M$.

分析

由通项推递推式？？

设 $A_n = (5 + 2\sqrt 6)^n, B_n = (5 - 2\sqrt 6)^n,C_n = A_n + B_n$,

显然 $C_n$ 是整数，且 $B_n$ 是小于1的，所以答案就是 $C_n - 1$.

通过推导：

$C_n = A_n + B_n = (5+2\sqrt6)^n +  (5-2\sqrt6)^n$

$C_{n+1} = A_{n+1} + B_{n+1} = (5+2\sqrt6)(5+2\sqrt6)^n +  (5-2\sqrt6)(5-2\sqrt6)^n$

$C_{n+2} = A_{n+2} + B_{n+2} = (49+20\sqrt6)(5+2\sqrt6)^n +  (49-20\sqrt6)(5-2\sqrt6)^n$，

观察得 $C_{n+2} = 10C_{n+1} - C_n$

写成矩阵快速幂的形式，即

$$\begin{bmatrix} C_n\\  C_{n-1} \end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} 10 & -1\\  1 & 0 \end{bmatrix}}^{n-1}\begin{bmatrix} C_1\\  C_0 \end{bmatrix}$$

幂太大，直接用快速幂肯定TLE。

我们可以找循环节，

由于模和转移矩阵是确定的，可以暴力打表找规律。

也可以用结论，因为 $M$ 为素数，存在循环节 $(M+1)(M-1)$。这不一定是最小的循环节，可以枚举其因子找到最小的循环节。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=+;
ll x0,x1,a,b,n,mod;
char s[N];

const int maxn =  + ;       //p最为2e9，不会有两个超过1e5的质因数
int prime[maxn], pcnt;            //prime[i]表示第i个素数
bool is_prime[maxn + ];    //is_prime[i]为true表示i是素数
int sieve(int n)
{
    int cnt = ;
    for (int i = ; i <= n; i++)  is_prime[i] = true;
    is_prime[] = is_prime[] = false;
    for (ll i = ; i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            for (ll j = i * i; j <= n; j += i)  is_prime[j] = false;  //i * i可能爆int
        }
    }
    return cnt;
}

ll solve(ll x){
    ll ans1=,ans2=,xx=x;
    for(int i=;i<pcnt;i++){
        if(1ll*prime[i]*prime[i]>x) break;
        if(x%prime[i]==){
            ans1*=(prime[i]-)*(prime[i]+);
            ans2*=prime[i];
            while(x%prime[i]==) x/=prime[i];
        }
    }
    if(x>){
        ans1*=(x-)*(x+);
        ans2*=x;
    }
    return xx/ans2*ans1;
}
ll qmul(ll x,ll y,ll p){        //快速乘
    x%=p;
    y%=p;
    ll ans=;
    while(y){
        if(y&){
            ans+=x;
            if(ans>=p) ans-=p;  //这样写不能有负数
        }
        x<<=;
        if(x>=p) x-=p;
        y>>=;
    }
    return ans;
}

struct Mat{
    int r,c;
    ll m[][];
    Mat(){
        memset(m,,sizeof(m));
    }
};

Mat mmul(Mat x,Mat y,ll p){
    Mat ans;
    ans.r=x.r;
    ans.c=y.c;
    for(int i=;i<x.r;i++)
        for(int k=;k<x.c;k++)
            for(int j=;j<y.c;j++){
                ans.m[i][j]+=qmul(x.m[i][k],y.m[k][j],p);
                if(ans.m[i][j]>=p) ans.m[i][j]-=p;
            }
    return ans;
}
Mat mpow(Mat x,ll y,ll p){
    Mat ans;
    ans.r=x.r;
    ans.c=x.c;
    for(int i=;i<ans.c;i++) ans.m[i][i]=;
    while(y){
        if(y&) ans=mmul(ans,x,p);
        x=mmul(x,x,p);
        y>>=;
    }
    return ans;
}
int main(){
    pcnt = sieve();
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&x0,&x1,&a,&b) == ){
        scanf("%s%lld",s,&mod);
        ll lop=solve(mod);  //循环节长度
        n=;
        int lens=strlen(s);
        for(int i=;i<lens;i++){
            n=qmul(n,,lop)+s[i]-'';
            if(n>=lop) n-=lop;
        }
        Mat A,T;
        A.r=; A.c=;
        A.m[][]=x1; A.m[][]=x0;
        T.r=; T.c=;
        T.m[][]=a; T.m[][]=b; T.m[][]=;
        if(n>){
            T=mpow(T,n-,mod);
            A=mmul(T,A,mod);
        }
        printf("%lld\n",A.m[][]);
    }
    return ;
}

参考链接：https://www.cnblogs.com/addf/p/4834108.html