【算法进阶-康托展开】-C++
引入
这位老爷子就是康托
基本概念
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,常用于构建hash表时的空间压缩。设有n个数(1,2,3,4,…,n),可以有组成不同(n!种)的排列组合,康托展开表示的就是是当前排列组合在n个不同元素的全排列中的名次。
所以,康托展开是为了把一种全排列压缩成一个整数,它的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的名次,因此是可逆的,称为逆康托展开(这篇博客不会讲)。
基本原理
我们用a[i]表示位于位置i后面的数小于A[i]值的个数。
公式长这样:
\(X=\sum_{i=1}^n a[i]×(n-i)!+1\)
也就是:
\(X = A[0] × (n-1)! + A[1] × (n-2)! + … + A[n-1] × 0!\)
这个算出来的数康拖展开值,是在所有排列次序 - 1的值,因此X+1即为在全排列中的次序,最终输出的应该是X+1
举个栗子:
在(1,2,3,4,5)5个数的排列组合中,计算 34152的康托展开值。
带入上面的公式
X=2*4!+2*3!+0*2!+1*1!+0*0! =>X=61
最后的结果也就是62.
康托展开基础-核心代码
//返回数组a中当下顺序的康托
int cantor(int *a,int n)
{
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x=0,c=1,m=1;
for(int j=i+1;j<n;j++)
{
if(a[j]<a[i])x++;
m*=c;
c++;
}
ans+=x*m;
}
return ans;
}
注意:这个函数返回的是X,输出请输出X+1,理由上面说过了.
康托展开的优化
很明显,上面讲的方法很暴力 需要\(O(n^2)\)的时间才能跑出来。
怎么优化呢?
首先我们可以了解,对于第\(i\)个位置,若该位置的数是未出现在之前位置上的数中第\(k\)大的,那么有\((k-1) \times (N-i)!\)种方案是该位置上比这个排列小的,所以总排名比该排列小。
由此我们可以得到,该排列的排名等于\(\sum_{i=1}^{N}(a[a_i]-1) \times (N-i)!\)
p.s.内层\(a_i\)表示给出的排列中的第i个数,重名不要管因为上文就是用的a数组计排名
阶乘问题因为每次都来计算太费事,所以预处理一下就可以了。
根据思路就可以用树状数组水过去模板了
不会树状数组的向这里看
代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define FAST_IN std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);
#define MOD 998244353
using namespace std;
long long fac[1000010],a,n,tree[1000001],ans;
int lowbit(int k)
{
return k&-k;
}
long long ask(long long s)
{
long long ans=0;
for(long long i=s;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=tree[i];
return ans;
}
void add(int s,int num)
{
for(long long i=s;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=num;
}
void cal()
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
add(i,1);
}
}
int main()
{
FAST_IN;
cin>>n;
cal();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a;
ans=(ans+(ask(a)-1)*fac[n-i]%MOD)%MOD;
add(a,-1);
}
cout<<ans+1<<endl;
return 0;
}
ov.
【算法进阶-康托展开】-C++的更多相关文章
- [算法总结]康托展开Cantor Expansion
目录 一.关于康托展开 1.什么是康托展开 2.康托展开实现原理 二.具体实施 1.模板 一.关于康托展开 1.什么是康托展开 求出给定一个由1n个整数组成的任意排列在1n的全排列中的位置. 解决这样 ...
- POJ 1077 && HDU 1043 Eight A*算法,bfs,康托展开,hash 难度:3
http://poj.org/problem?id=1077 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1043 X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*( ...
- BZOJ3301 P2524 UVA11525 算法解释康托展开
这三个题的代码分别对应第二个第一个第三个 在刘汝佳蓝书上我遇到了这个康托展开题. 当时去了解了一下,发现很有意思 百度上的康托展开定义 原理介绍 编辑 康托展开运算 其中, 为整数,并且 . 的意义为 ...
- 康托展开&逆展开算法笔记
康托展开(有关全排列) 康托展开:已知一个排列,求这个排列在全排列中是第几个 康托展开逆运算:已知在全排列中排第几,求这个排列 定义: X=an(n-1)!+an-1(n-2)!+...+ai(i-1 ...
- POJ 1077 Eight (BFS+康托展开)详解
本题知识点和基本代码来自<算法竞赛 入门到进阶>(作者:罗勇军 郭卫斌) 如有问题欢迎巨巨们提出 题意:八数码问题是在一个3*3的棋盘上放置编号为1~8的方块,其中有一块为控制,与空格相邻 ...
- 洛谷P2525 Uim的情人节礼物·其之壱 [康托展开]
题目传送门 Uim的情人节礼物·其之壱 题目描述 情人节到了,Uim打算给他的后宫们准备情人节礼物.UIm一共有N(1<=N<=9)个后宫妹子(现充去死 挫骨扬灰!). 为了维护他的后宫的 ...
- HDU_1043 Eight 【逆向BFS + 康托展开 】【A* + 康托展开 】
一.题目 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1043 二.两种方法 该题很明显,是一个八数码的问题,就是9宫格,里面有一个空格,外加1~8的数字,任意 ...
- hihoCoder #1312 : 搜索三·启发式搜索(A*, 康托展开)
原题网址:http://hihocoder.com/problemset/problem/1312 时间限制:10000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB 描述 在小Ho的手机上有 ...
- HDU1430 BFS + 打表 + 康托展开
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1430 , 一道比较好的题. 这道题要用到很多知识,康托展开.BFS.打表的预处理还要用到一一映射,做完 ...
随机推荐
- QComboBox的currentIndexChanged信号死循环问题
connect(m_pComboBoxDevice, SIGNAL(currentIndexChanged(int)), this, SLOT(sltComboBoxDeviceCurrentText ...
- pandas数据结构之Panel笔记
Panel创建的是三维的表 items:坐标轴0,索引对应的元素是一个DataFrame major_axis:坐标轴1,DataFrame里的行标签 minor_axis:坐标轴2,DataFram ...
- Fabric分支/版本切换问题
(以下示例是从 release-1.4 切换到 release-1.3) 首先将 $GOAPTH/src/github.com/hyperledger/ 下1.4版本的fabric-samples给删 ...
- 导出excel的功能效果实现
<el-button @click="exportExcel" > <i style="display: inline-block;"> ...
- 官网下载CentOS教程(各版本)
1.进入官网,并点击下图所示的红框(alternative downloads) 官网网址:https://www.centos.org/download/ 2.在往下翻,可以看到如下图的历史版本, ...
- 轻松搭建CAS 5.x系列(9)-登录后显示通知信息
概述说明 用户在账号名密码认证通过后,CAS可以跳转到登陆完成页面前,显示相关的通知页面. 搭建步骤 `1. 首先,您需要有个CAS Server端 如果您没有,可以按照我之前写的文章<轻松搭建 ...
- C#基础--Ref与Out区别
两者都是按地址传递的,使用后都将改变原来参数的数值. class Program { static void Main(string[] args) { int num = 1; Method(ref ...
- RESTful接口开发
package com.aaaaaa.manager.controller; import org.springframework.beans.factory.annotation.Autowired ...
- Css制作table细线表格
制作细线表格,我想应该是最基本的css知识了,记录下来巩固下. 推荐: table{ border-collapse:collapse; border: 1px solid #000000; } td ...
- Invariant Violation: requireNativeComponent: "RNCWKWebView" was not found in the UIManager.
react-native 0.60以上版本安装第三方库的时候会autolink 出现这个问题是 我安装 react-native-webview 之后运行 ios出现的,这是因为ios 没有自动安 ...