paper 62：高斯混合模型（GMM）参数优化及实现

高斯混合模型（GMM）参数优化及实现 （< xmlnamespace prefix ="st1" ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />2010-11-13）

1 高斯混合模型概述< xmlnamespace prefix ="o" ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

高斯密度函数估计是一种参数化模型。有单高斯模型（Single Gaussian Model, SGM）和高斯混合模型（Gaussian mixture model，GMM）两类。类似于聚类，根据高斯概率密度函数（PDF，见公式1）参数的不同，每一个高斯模型可以看作一种类别，输入一个样本< xmlnamespace prefix ="v" ns ="urn:schemas-microsoft-com:vml" /> ，即可通过PDF计算其值，然后通过一个阈值来判断该样本是否属于高斯模型。很明显，SGM适合于仅有两类别问题的划分，而GMM由于具有多个模型，划分更为精细，适用于多类别的划分，可以应用于复杂对象建模。

下面以视频前景分割应用场景为例，说明SGM与GMM在应用上的优劣比较：

l        SGM需要进行初始化，如在进行视频背景分割时，这意味着如果人体在前几帧就出现在摄像头前，人体将会被初始化为背景，而使模型无法使用；

l        SGM只能进行微小性渐变，而不可突变。如户外亮度随时间的渐变是可以适应的，如果在明亮的室内突然关灯，单高斯模型就会将整个室内全部判断为前景。又如，若在监控范围内开了一辆车，并在摄像头下开始停留。由于与模型无法匹配，车会一直被视为前景。当车过很长时间离去时，由于车停留点的亮度发生了很大的变化，因此已经无法与先前的背景模型相匹配；

l        SGM无法适应背景有多个状态，如窗帘，风吹的树叶。单高斯模型无法表示这种情况，而使得前背景检测混乱，而GMM能够很好地描述不同状态；

l        相对于单高斯模型的自适应变化，混合高斯模型的自适应变化要健壮的多。它能解决单高斯模型很多不能解决的问题。如无法解决同一样本点的多种状态，无法进行模型状态转化等。

2 理论说明部分

因博客中无法编辑公式，故详细文档见这里。代码如下：

3 源码

3.1 单高斯模型

下面代码实现了SGM，并实现了人脸肤色检测。其中图像处理、矩阵运算采用了openCV库函数

/*****************************************************************************

       Single Gaussian Model for skin color extraction

       Param:

              img -- input image to extract the face region

              skinImg -- result

*****************************************************************************/

void CSkinColor::RunSGM(IplImage *img, IplImage **skinImg)

{

       if (img == NULL) return -1;

       //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

       // 以下参数一组(117.4361,156.5599)来自源码 light2，与文章《王航宇:基于 YCbCr 高斯肤色模型的

       // 人脸检测技术研究》相同，另一组来自源码“肤色检测正式版”（103.0056, 140.1309）

       double M[]={103.0056, 140.1309}/*{117.4361,156.5599}*/;//M 为肤色在 YCbCr 颜色空间的样本均值(Cb, Cr)，经验值

       double C[2][2]={{160.1301,12.1430},//C 为肤色相似度模型的协方差矩阵，同上为经验值

              {12.1430,299.4574}};// 注：因为运算仅需要该矩阵的逆矩阵值，故该值没有使用，仅作参考

       double invC[2][2]={0.0077 ,-0.0041,-0.0041 ,0.0047

       };//Ct 为C的逆矩阵值，由matlab计算而得

       //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

       IplImage* pImg = img;

       double CrMean=0,CbMean=0,YMean=0;

       // 1 颜色转换：BGR->YCrCb

       IplImage*imgYCrCb=cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,3);// YCrCb图像

       cvCvtColor(pImg, imgYCrCb, CV_BGR2YCrCb);// 第0,1,2层分别为Y,Cr,Cb

       IplImage *imgY = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,1);// YCrCb图像

       IplImage *imgCr = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,1);// YCrCb图像

       IplImage *imgCb = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,1);// YCrCb图像

       IplImage *imgY32 = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_32F,1);// YCrCb图像

       IplImage *imgCr32 = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_32F,1);// YCrCb图像

       IplImage *imgCb32 = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_32F,1);// YCrCb图像

       cvSplit(imgYCrCb, imgY, imgCr, imgCb, NULL);

       cvConvert(imgY, imgY32);

       cvConvert(imgCr, imgCr32);

       cvConvert(imgCb, imgCb32);

       //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

       // 2 根据Sigle Gaussian Model计算颜色模型

       IplImage *PCbCr=cvCreateImage(cvGetSize(pImg), IPL_DEPTH_32F, 1);//YCrCb颜色模型

       IplImage *tempA=cvCreateImage(cvGetSize(pImg), IPL_DEPTH_32F, 1);//YCrCb颜色模型

       IplImage *tempB=cvCreateImage(cvGetSize(pImg), IPL_DEPTH_32F, 1);//YCrCb颜色模型

       cvSubS(imgCb32, cvScalar(M[0]), imgCb32);// x-m

       cvSubS(imgCr32, cvScalar(M[1]), imgCr32);// x-m

       cvAddWeighted(imgCb32, invC[0][0], imgCr32, invC[1][0], 0, tempA);

       cvAddWeighted(imgCb32, invC[0][1], imgCr32, invC[1][1], 0, tempB);

       cvMul(imgCb32, tempA, tempA, -0.5);

       cvMul(imgCr32, tempB, tempB, -0.5);

       cvAdd(tempA, tempB, PCbCr);

       cvExp(PCbCr, PCbCr);

       double max_val=0,min_val=0;

       cvMinMaxLoc(PCbCr,&min_val,&max_val);

       IplImage *proImg=cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U, 1);//YCrCb颜色模型

       double a=255/(max_val);

       cvConvertScaleAbs(PCbCr,proImg,a,0);

       m_proimg = cvCloneImage(proImg);

       if ((*skinImg)!=NULL) cvReleaseImage(skinImg);

       *skinImg = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U, 1);//肤色结果

       // 释放内存

       cvReleaseImage(&proImg);

       cvReleaseImage(&imgYCrCb);

       cvReleaseImage(&imgY);

       cvReleaseImage(&imgCr);

       cvReleaseImage(&imgCb);

       cvReleaseImage(&imgY32);

       cvReleaseImage(&imgCr32);

       cvReleaseImage(&imgCb32);

       cvReleaseImage(&PCbCr);

       cvReleaseImage(&tempA);

       cvReleaseImage(&tempB);

}

　　

3.1高斯混合模型

（1）以下matlab代码实现了高斯混合模型：

function [Alpha, Mu, Sigma] = GMM_EM(Data, Alpha0, Mu0, Sigma0)

%% EM 迭代停止条件

loglik_threshold = 1e-10;

%% 初始化参数

[dim, N] = size(Data);

M = size(Mu0,2);

loglik_old = -realmax;

nbStep = 0;

Mu = Mu0;

Sigma = Sigma0;

Alpha = Alpha0;

Epsilon = 0.0001;

while (nbStep < 1200)

  nbStep = nbStep+1;

  %% E-步骤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  for i=1:M

    % PDF of each point

    Pxi(:,i) = GaussPDF(Data, Mu(:,i), Sigma(:,:,i));         

  end

  % 计算后验概率 beta(i|x)

  Pix_tmp = repmat(Alpha,[N 1]).*Pxi;

  Pix = Pix_tmp ./ (repmat(sum(Pix_tmp,2),[1 M])+realmin);

  Beta = sum(Pix);

  %% M-步骤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  for i=1:M

    % 更新权值

    Alpha(i) = Beta(i) / N;

    % 更新均值

    Mu(:,i) = Data*Pix(:,i) / Beta(i);

    % 更新方差

    Data_tmp1 = Data - repmat(Mu(:,i),1,N);

    Sigma(:,:,i) = (repmat(Pix(:,i)',dim, 1) .* Data_tmp1*Data_tmp1') / Beta(i);

    %% Add a tiny variance to avoid numerical instability

    Sigma(:,:,i) = Sigma(:,:,i) + 1E-5.*diag(ones(dim,1));

  end

%  %% Stopping criterion 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%  for i=1:M

    %Compute the new probability p(x|i)

%    Pxi(:,i) = GaussPDF(Data, Mu(:,i), Sigma(i));

%  end

  %Compute the log likelihood

%  F = Pxi*Alpha';

%  F(find(F<realmin)) = realmin;

%  loglik = mean(log(F));

  %Stop the process depending on the increase of the log likelihood

%  if abs((loglik/loglik_old)-1) < loglik_threshold

%    break;

%  end

%  loglik_old = loglik;

  %% Stopping criterion 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  v = [sum(abs(Mu - Mu0)), abs(Alpha - Alpha0)];

  s = abs(Sigma-Sigma0);

  v2 = 0;

  for i=1:M

    v2 = v2 + det(s(:,:,i));

  end

  if ((sum(v) + v2) < Epsilon)

    break;

  end

  Mu0 = Mu;

  Sigma0 = Sigma;

  Alpha0 = Alpha;

end

nbStep

　　

（2）以下代码根据高斯分布函数计算每组数据的概率密度，被GMM_EM函数所调用

function prob = GaussPDF(Data, Mu, Sigma)

%

% 根据高斯分布函数计算每组数据的概率密度 Probability Density Function (PDF)

% 输入 -----------------------------------------------------------------

%   o Data:  D x N ，N个D维数据

%   o Mu:    D x 1 ，M个Gauss模型的中心初始值

%   o Sigma: M x M ，每个Gauss模型的方差（假设每个方差矩阵都是对角阵，

%                                   即一个数和单位矩阵的乘积）

% Outputs ----------------------------------------------------------------

%   o prob:  1 x N array representing the probabilities for the

%            N datapoints.    

[dim,N] = size(Data);

Data = Data' - repmat(Mu',N,1);

prob = sum((Data*inv(Sigma)).*Data, 2);

prob = exp(-0.5*prob) / sqrt((2*pi)^dim * (abs(det(Sigma))+realmin));

　　

（3）以下是演示代码demo1.m

% 高斯混合模型参数估计示例 （基于 EM 算法）

% 2010 年 11 月 9 日

[data, mu, var, weight] = CreateSample(M, dim, N);  // 生成测试数据

[Alpha, Mu, Sigma] = GMM_EM(Data, Priors, Mu, Sigma)

　　

（4）以下是测试数据生成函数，为demo1.m所调用：

function [data, mu, var, weight] = CreateSample(M, dim, N)

% 生成实验样本集，由M组正态分布的数据构成

% % GMM模型的原理就是仅根据数据估计参数：每组正态分布的均值、方差，

% 以及每个正态分布函数在GMM的权重alpha。

% 在本函数中，这些参数均为随机生成，

%

% 输入

%   M    : 高斯函数个数

%   dim  : 数据维数

%   N    : 数据总个数

% 返回值

%   data : dim-by-N, 每列为一个数据

%   miu  : dim-by-M, 每组样本的均值，由本函数随机生成

%   var  : 1-by-M, 均方差，由本函数随机生成

%   weight: 1-by-M, 每组的权值，由本函数随机生成

% ----------------------------------------------------

%

% 随机生成不同组的方差、均值及权值

weight = rand(1,M);

weight = weight / norm(weight, 1); % 归一化，保证总合为1

var = double(mod(int16(rand(1,M)*100),10) + 1);  % 均方差，取1~10之间，采用对角矩阵

mu = double(round(randn(dim,M)*100));            % 均值，可以有负数

for(i = 1: M)

  if (i ~= M)

    n(i) = floor(N*weight(i));

  else

    n(i) = N - sum(n);

  end

end

% 以标准高斯分布生成样本值，并平移到各组相应均值和方差

start = 0;

for (i=1:M)

  X = randn(dim, n(i));

  X = X.* var(i) + repmat(mu(:,i),1,n(i));

  data(:,(start+1):start+n(i)) = X;

  start = start + n(i);

end

save('d:\data.mat', 'data');