51Nod 1352 集合计数（扩展欧几里德）

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题目大意：

给出N个固定集合{1，N},{2,N-1},{3,N-2},...,{N-1,2},{N,1}.求出有多少个集合满足：第一个元素是A的倍数且第二个元素是B的倍数。

提示：

对于第二组测试数据，集合分别是：{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},{6,5},{7,4},{8,3},{9,2},{10,1}.满足条件的是第2个和第8个。

解题思路：

因为第一个元素+第二个元素等于N+1，所以可以列二元一次方程A*x+B*y=N+1求出其中一对解（x0,y0），并得到ra=A/gcd(A,B)，rb=B/gcd(A,B)，

接下来我们需要求出最小的x，根据方程，我们知道每当y-1则x-A/B(约分后为rb/ra),因为解是整数所以x每次只能减少rb,所以最小的x为x%rb。

于是得到（x1,y1）为x最小,y最大是的情况。接下来求总共有几组解，同理根据上面求最小的x的方法，y每次只能减少ra，x每次只能增加rb。

同时要满足两个条件：①A*x<=n  ②y>0所以最后答案就为1+min(y/ra,(N-A*x)/(A*rb))。

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 //ax+by=gcd(a,b),d为最后求出的gcd(a,b)
 void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d){
     if(!b){
         d=a;
         x=;
         y=;
         return;
     }
     ex_gcd(b,a%b,y,x,d);
     y=y-a/b*x;
 }

 LL cal(LL a,LL b,LL n){
     LL x,y,d;
     n++;                  //n+1
     ex_gcd(a,b,x,y,d);
     if(n%d)               //ax+by=c,gcd(a,b)|c不成立,则无解
         return ;
     x*=n/d;
     y*=n/d;
     LL rb=b/d,ra=a/d;
     x=(x%rb+rb)%rb;       //求出最小的x,每当y-1则x-a/b(约分后为rb/ra),因为解是整数所以x每次只能减少rb,所以最小的x为x%rb。
     y=(n-a*x)/b;          //最大的y
     if(x==)              //x不能为0
         x+=rb;
     if(a*x>n-)           //无解
         return ;
     return +min(y/ra,(n--a*x)/(a*rb));//跟求最小的x时同理,但要满足：①a*x<=n-1 ②y>0
 }

 int main(){
     int t;
     ios::sync_with_stdio(false);
     cin>>t;
     while(t--){
         int n,a,b;
         cin>>n>>a>>b;
         cout<<cal(a,b,n)<<endl;
     }
     return ;
 }