B树（B-树）

1、什么是B树（B-树）？

B树是一种m阶树，m>=2

性质：

1）树中每个结点至多m个孩子；

2）对于根结点，子树个树取值范围为[2，m]，关键字个数范围[1，m-1]；

3）对于非根非叶结点，子树个数取值范围为[ceil(m/2)，m]，关键字个数范围为[ceil(m/2)-1，m-1]；

4）所有叶子结点都出现在同一层。

5）每个非叶子结点中包含n个关键字信息：（n, P0, K1, P1, K2, P2, ... , Kn, Pn）。

n为关键字的个数，且有 [ceil(m/2)-1] <= n <= m-1

Ki为关键字，且按升序排序

Pi为指向子树的接点，且    K(i-1)  <=  P(i-1) 指向子树的所有结点关键字    <=Ki

三阶B树

2）3）的应用

如果B树结点的最小度数为固定整数t>=2，有

a) 非根结点至少 t-1个关键字，非根非叶结点至少t个子女

b）每个结点至多2t-1个关键字，每个非根非叶结点至多2t个子女

c）综上所述根结点关键字个数范围为:[1, 2*t-1]，非根结点关键字个数范围为：[t-1，2*t-1]

2、B树复杂度与高度

B树的高度：

根为1个结点，第二层至少为2个结点，第三层至少为2t个结点，第四层至少2t*t个结点

将所有最小结点相加，推导过程：n>= 1+2+2t+2t^2+ ... +2t^(h-1)=3+2t (t^h-1)/(t-1)>=2t^(h-1)+1

最后推出的结果为

h<=log((n-1)/2)

3、操作

这里只给出插入删除操作，查找操作相对简单的多 这里不做解释

 1)B-树的插入操作(重点判断是否满足n<=m-1)

a.利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到，则说明该关键字已经存在，直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。

b.判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足，则说明该结点还有空位置，直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足，说明该结点己没有空位置，需要把结点分裂成两个。

分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

2）B树的删除

a）利用B树查找算法找出关键字所在的结点，然后根据结点所在的位置判断是否为叶子结点

b）若为非叶结点，且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i]，则可从指针son[i]所指向的子树中找出最小关键字Y，代替key[i]的位置，然后在叶结点中删去Y，把非叶结点的删除化为叶结点的删除。

叶结点删除一个关键字的方法：

三种不同情况：

（1）如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>ceil(m/2)，则说明删去该关键字后该结点仍满足B树的定义，这种情况下直接删除即可；

（2）如果被删除关键字所在结点的关键字个数n等于ceil(m/2)-1，说明删去该关键字后该结点将不满足B树的定义，需要调整：

如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字，即与该结点相邻的左（右）兄弟结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1，则可将左（右）兄弟结点中最大（小）的结点上移至双亲结点，而将双亲结点中大（小）于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

（3）如果左右兄弟结点中没有多余的关键字，即左右兄弟结点中关键字的数目均等于ceil(m/2)-1。

需要调整：

在删除关键字后，该结点中剩余的关键字加指针，加上双亲结点中的关键字（该关键字为结点与兄弟结点的分割者），合并到兄弟结点中去。