Bzoj 2818: Gcd 莫比乌斯,分块,欧拉函数,线性筛

2818: Gcd

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Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

Source

湖北省队互测

题解：

莫比乌斯函数或欧拉函数。

莫比乌斯函数详见 Popoqqq的课件 (Orz Po姐)

之后就自己推公式吧。。。

莫比乌斯函数：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define MAXN 10000010
 int prime[],mu[MAXN],qz[MAXN],tot,N;
 bitset<MAXN> vis;
 int read()
 {
     int s=,fh=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')fh=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){s=s*+(ch-'');ch=getchar();}
     return s*fh;
 }
 void getmu()
 {
     int i,j;
     mu[]=;
     tot=;
     for(i=;i<=N;i++)
     {
         if(vis[i]==)
         {
             prime[++tot]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(j=;j<=tot&&prime[j]*i<=N;j++)
         {
             vis[prime[j]*i]=;
             if(i%prime[j]==)
             {
                 mu[i*prime[j]]=;
                 break;
             }
             mu[i*prime[j]]=-mu[i];
         }
     }
 }
 void Qz()
 {
     for(int i=;i<=N;i++)qz[i]=qz[i-]+mu[i];
 }
 LL calc(int n)
 {
     int d,pos;
     LL sum=;
     for(d=;d<=n;d=pos+)
     {
         pos=n/(n/d);
         sum+=(LL)(n/d)*(n/d)*(qz[pos]-qz[d-]);
     }
     return sum;
 }
 int main()
 {
     int i;
     LL ans=;
     N=read();
     getmu();
     Qz();
     for(i=;i<=tot&&prime[i]<=N;i++)ans+=calc(N/prime[i]);
     printf("%lld",ans);
     fclose(stdin);
     fclose(stdout);
     return ;
 }

欧拉函数：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define MAXN 10000010
 #define LL long long
 bitset<MAXN> vis;
 int N,prime[],phi[MAXN],tot;
 LL qz[MAXN];
 int read()
 {
     int s=,fh=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')fh=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){s=s*+(ch-'');ch=getchar();}
     return s*fh;
 }
 void geteular()
 {
     int i,j;
     phi[]=;tot=;
     for(i=;i<=N;i++)
     {
         if(vis[i]==)
         {
             prime[++tot]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         for(j=;j<=tot&&prime[j]*i<=N;j++)
         {
             vis[prime[j]*i]=;
             if(i%prime[j]==)
             {
                 phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
                 break;
             }
             phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];
         }
     }
 }
 void Qz()
 {
     qz[]=qz[]=;
     for(int i=;i<=N;i++)qz[i]=qz[i-]+phi[i];
 }
 int main()
 {
     int i,n;
     LL ans=;
     N=read();
     geteular();
     Qz();
     for(i=;i<=tot;i++)
     {
         n=N/prime[i];
         ans+=(qz[n]*+);
     }
     printf("%lld",ans);
     fclose(stdin);
     fclose(stdout);
     return ;
 }