Description

题库链接

给你一个长度为 \(n\) ,可含前导零的大数,以及一个质数 \(p\) 。 \(m\) 次询问,每次询问你一个大数的子区间 \([l,r]\) ,求出子区间中有多少个子串为 \(p\) 的倍数。

\(1\leq n,m\leq 100000\)

Solution

记 \(a_i\) 为大数第 \(i\) 位上的数值。

注意到题目是要求 \[\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\left[\sum_{k=i}^ja_k\cdot 10^{j-k}\equiv 0\pmod{p}\right]\]

我们可以将其等价变形 \[\Rightarrow\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\left[10^j\sum_{k=i}^ja_k\cdot 10^{-k}\equiv 0\pmod{p}\right]\]

由于 \(p\) 是质数,同时在 \(p\neq 2\wedge p\neq 5\) 时, \(\nexists i,10^i\equiv 0\pmod{p}\) ;且对于 \(\forall i,10^{-i}\) 存在逆元。

所以我们先讨论 \(p\neq 2\wedge p\neq 5\) 的情况。

我们不妨记 \(sum_i=\sum\limits_{j=1}^ia_j\cdot10^{-j}\) 在模 \(p\) 意义下的结果。

原式等价于 \[\begin{aligned}\Rightarrow&\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\left[\sum_{k=i}^ja_k\cdot 10^{-k}\equiv 0\pmod{p}\right]\\=&\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\left[sum_j-sum_{i-1}\equiv 0\pmod{p}\right]\\=&\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\left[sum_j=sum_{i-1}\right]\end{aligned}\]

发现这不就是莫队的板子么,求子区间内有多少数对相等。直接套板子就好了。

然后对于 \(p= 2\vee p= 5\) ,可以特判,讨论比较简单,不再赘述。

Code

注意这个代码是过不了的。但在 luogu 上强行开 O2 过了,就得过且过吧...

但是可以有这些优化:

  1. 优化莫队的计算过程,不用每次都算一遍组合数;
  2. 不用写 \(hash\) 表,直接排序离散化就好了
//It is made by Awson on 2018.2.11
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define dob complex<double>
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int N = 200000;
const int MOD = 1e6+7;
void read(int &x) {
char ch; bool flag = 0;
for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
x *= 1-2*flag;
}
void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }
void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); } int p, n, m, sum[N+5], inv, lim;
int tol[MOD+5];
char num[N+5];
LL ans[N+5]; namespace cheat2 {
struct bittree {
LL c[N+5];
void add(int x, int val) {for (; x <= n; x += lowbit(x)) c[x] += val; }
LL query(int x) {
LL sum = 0;
for (; x; x -= lowbit(x)) sum += c[x];
return sum;
}
}T;
int sum[N+5];
void main() {
scanf("%s", num+1); n = strlen(num+1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
if ((num[i]-48)%2 == 0) T.add(i, i), sum[i] = sum[i-1]+1;
else sum[i] = sum[i-1];
read(m); int l, r;
while (m--) {
read(l), read(r); writeln(T.query(r)-T.query(l-1)-1ll*(sum[r]-sum[l-1])*(l-1));
}
}
}
namespace cheat5 {
struct bittree {
LL c[N+5];
void add(int x, int val) {for (; x <= n; x += lowbit(x)) c[x] += val; }
LL query(int x) {
LL sum = 0;
for (; x; x -= lowbit(x)) sum += c[x];
return sum;
}
}T;
int sum[N+5];
void main() {
scanf("%s", num+1); n = strlen(num+1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
if ((num[i]-48)%5 == 0) T.add(i, i), sum[i] = sum[i-1]+1;
else sum[i] = sum[i-1];
read(m); int l, r;
while (m--) {
read(l), read(r); writeln(T.query(r)-T.query(l-1)-1ll*(sum[r]-sum[l-1])*(l-1));
}
}
} struct HASH {
int k[MOD+5];
void clear() {memset(k, -1, sizeof(k)); }
void insert(int x) {
int loc = x%MOD;
while (true) {
if (k[loc] == -1 || k[loc] == x) {k[loc] = x; return; }
++loc; if (loc >= MOD) loc %= MOD;
}
}
int query(int x) {
int loc = x%MOD;
while (true) {
if (k[loc] == x) {return loc; }
++loc; if (loc >= MOD) loc %= MOD;
}
}
}mp;
struct tt {
int l, r, id;
bool operator < (const tt &b) const {return l/lim == b.l/lim ? r < b.r : l < b.l; }
}a[N+5];
int quick_pow(int a, int b, int p) {
int ans = 1;
while (b) {
if (b&1) ans = 1ll*ans*a%p;
b >>= 1, a = 1ll*a*a%p;
}
return ans;
}
LL C(int n) {return 1ll*n*(n-1)/2;}
void work() {
read(p); mp.clear();
if (p == 2) {cheat2::main(); return; }
if (p == 5) {cheat5::main(); return; }
inv = quick_pow(10, p-2, p); scanf("%s", num+1); n = strlen(num+1); lim = sqrt(n);
mp.insert(0);
for (int i = 1, j = inv; i <= n; i++, j = 1ll*j*inv%p) {
sum[i] = (sum[i-1]+1ll*(num[i]-48)*j%p)%p;
mp.insert(sum[i]);
}
read(m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {read(a[i].l), --a[i].l, read(a[i].r), a[i].id = i; }
sort(a+1, a+m+1);
LL now = 0; int curl = 0, curr = 0; tol[mp.query(0)] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int l = a[i].l, r = a[i].r;
int id = mp.query(sum[curl]);
while (curl < l) now -= C(tol[id]), --tol[id], now += C(tol[id]), ++curl, id = mp.query(sum[curl]);
id = mp.query(sum[curl-1]);
while (curl > l) --curl, now -= C(tol[id]), ++tol[id], now += C(tol[id]), id = mp.query(sum[curl-1]);
id = mp.query(sum[curr+1]);
while (curr < r) ++curr, now -= C(tol[id]), ++tol[id], now += C(tol[id]), id = mp.query(sum[curr+1]);
id = mp.query(sum[curr]);
while (curr > r) now -= C(tol[id]), --tol[id], now += C(tol[id]), --curr, id = mp.query(sum[curr]);
ans[a[i].id] = now;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) writeln(ans[i]);
}
int main() {
work(); return 0;
}

[HNOI 2016]大数的更多相关文章

  1. [HNOI 2016]树

    Description 题库链接 给你一棵 \(N\) 个节点根节点为 \(1\) 的有根树,结点的编号为 \(1\sim N\) :我们称这颗树为模板树.需要通过这棵模板树来构建一颗大树.构建过程如 ...

  2. 【HNOI 2016】大数

    Problem Description 小 B 有一个很大的数 \(S\),长度达到了 \(N\) 位:这个数可以看成是一个串,它可能有前导 \(0\),例如 00009312345 .小 B 还有一 ...

  3. 【BZOJ 4539】【HNOI 2016】树

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4539 今天测试唯一会做的一道题. 按题目要求,如果暴力的把模板树往大树上仍,最后得到的大树是$O(n ...

  4. hnoi 2016 省选总结

    感觉省选好难的说...反正我数据结构太垃圾正解想到了也打不出来打一打暴力就滚粗了! DAY1 0+20+30 DAY2 60-20+0+60 最后170-20分,暴力分还是没有拿全! 然而这次是给了5 ...

  5. HNOI 2016 省队集训日记

    第一天 DeepDarkFantasy 从东京出发,不久便到一处驿站,写道:日暮里.  ——鲁迅<藤野先生> 定义一个置换的平方为对1~n的序列做两次该置换得到的序列.已知一个置换的平方, ...

  6. 数据结构(树链剖分,堆):HNOI 2016 network

    2215. [HNOI2016]网络 ★★★☆   输入文件:network_tenderRun.in   输出文件:network_tenderRun.out   简单对比时间限制:2 s   内存 ...

  7. [HNOI 2016]最小公倍数

    Description 题库链接 给定一张 \(N\) 个顶点 \(M\) 条边的无向图(顶点编号为 \(1,2,\cdots,n\) ),每条边上带有权值.所有权值都可以分解成 \(2^a\time ...

  8. [HNOI 2016]序列

    Description 题库链接 给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\) ,给出 \(q\) 组询问.每次询问 \([l,r]\) ,求该区间内所有的子序列中最小值的和. \(1\leq n, ...

  9. [HNOI 2016]网络

    Description 一个简单的网络系统可以被描述成一棵无根树.每个节点为一个服务器.连接服务器与服务器的数据线则看做 一条树边.两个服务器进行数据的交互时,数据会经过连接这两个服务器的路径上的所有 ...

随机推荐

  1. 微信小程序测试总结

    概述 由于项目中,微信前端和后端对接出现错误.所以Alpha测试分为微信小程序前端,管理员web测试. 测试工具选择 微信小程序的前端使用微信小程序开发工具测试. 管理员web使用web测试. 测试工 ...

  2. tornado httpserver

    # coding:utf-8 import tornado.web import tornado.ioloop import tornado.httpserver # 新引入httpserver模块 ...

  3. 第四十八条:如果需要精确的答案,请避免使用float和double

    让一个float或者double精确的表示0.1或者10的任何负数次方值都是不可能.float和double它们执行二进制浮点运算, 它们是为了在广泛的数值范围上提供较为精确的快速近似计算而精心设计的 ...

  4. .NET Core装饰模式和.NET Core的Stream

    该文章综合了几本书的内容. 某咖啡店项目的解决方案 某咖啡店供应咖啡, 客户买咖啡的时候可以添加若干调味料, 最后要求算出总价钱. Beverage是所有咖啡饮料的抽象类, 里面的cost方法是抽象的 ...

  5. zookeeper 入门系列-理论基础 – zab 协议

    上一章讨论了paxos算法,把paxos推到一个很高的位置.但是,paxos有没有什么问题呢?实际上,paxos还是有其自身的缺点的: 1. 活锁问题.在base-paxos算法中,不存在leader ...

  6. 第三章 jQuery中的事件与动画

    第三章jQuery中的事件与动画 一. jQuery中的事件 jQuery事件是对javaScript事件的封装. 1.基础事件 在javaScript中,常用的基础事件有鼠标事件.键盘事件.wind ...

  7. OAuth2.0学习(1-2)OAuth2.0的一个企业级应用场景 - 新浪开放平台微博OAuth2.0认证

    http://open.weibo.com/wiki/%E9%A6%96%E9%A1%B5 开发者可以先浏览OAuth2.0的接口文档,熟悉OAuth2.0的接口及参数的含义,然后我们根据应用场景各自 ...

  8. cmd编译运行java

    新建.java结尾的文件 内容 public class hello{ public static void main(String[] args){ System.out.println(" ...

  9. php 数组对象之间的转换

    在之前我写过php返回json数据简单实例 从5.2版本开始,PHP原生提供json_encode()和json_decode()函数,前者用于编码,后者用于解码. 一.json_encode() 1 ...

  10. ICC_lab总结——ICC_lab5:布线&&数字集成电路物理设计学习总结——布线

    字丑,禁止转载! 这里将理论总结和实践放在一起了. 布线的理论总结如下所示: 下面是使用ICC进行实践的流程: 本次的布线实验主要达成的目标是: ·对具有时钟树布局后的设计进行可布线性检查 ·完成布线 ...