N阶台阶问题(详解)

原创

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问题描述：

　　有N阶台阶，每一步可以走1步台阶或者2步台阶，求出走到第N阶台阶的方法数。

解题思路：

1.    类似于建立树的过程

　　　　　

　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2

　　　　　　　1 　　　　 2　　　　　　　　　　　　　　　　   1　　　　　2

　　　　  1        2      1    2　　　　　　　　　  　　　   1       2        1       2
　　　　　……..　　　　　　　　　　　　　　　　　　　........

　　　　　如上，建立一棵根节点为1和一棵根节点为2的二叉树，分别表示台阶第一步跨1步和跨2步，

　　　　　第二层各有两种选择，分别是跨1步和2步，接下来的每一层都有这两种选择，如何跨

　　　　　越的阶数等于N，计数变量+1，如果大于N，返回继续走其他路径。

 　　　　  (由于n到45左右时数据已经爆炸，这种暴力递归法在n较大时系统出不来数据了)

 #include<stdio.h>

 int count;    //计数变量

 void sos(int n,int step)
 {
     if(step>n)    //大于n，这种方法不行
         return;
     if(step==n)
     {
         count++;
         return;
     } 

     sos(n,step+);    //树1
     sos(n,step+);    //树2
 }

 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d",&n);    //n阶台阶

     sos(n,);
     printf("%d",count);
     return ;
 } 

　　　2. 动态规划法

　　　　 有一个规律：　F（n）= F（n-1）+ F（n-2）；

　　　　 F（n）表示当有n阶台阶时有F（n）种方法；比如F（1）= 1；F（2）= 2；F（3）= F（1）+ F（2）= 3；

　　　　 下面我用我的思路尽可能让大家理解这个公式：

　　　　 1.　可以这样想，需要跨越n层阶梯，那么第一步我跨1层阶梯，那么剩下n-1层阶梯，跨越这n-1阶台阶的方法

　　　　　　 就有F（n-1）方法； 同理，第一步跨2层阶梯，那么跨越剩下的n-2层阶梯就有F（n-2）种方法。

　　　　　　 所以跨越n层阶梯的方法数  F（n）= F（n-1）+ F（n-2）；

　　　　  2.   如果上面大家不理解，还可以这样理解，假如我们已经知道了F（n-1）和F（n-2），求F（n）；

　　　　　　 在F（n-2）的基础上，我们可以通过一次跨2层阶梯到达第n层，也可以通过先跨1步，再跨1步的方式到达

　　　　　　 第n层。 我们可以这样理解，如果一次性跨2层阶梯，我们只是在每一种跨越n-2层阶梯方式的基础上再加上

　　　　　　 2就能到达第n层阶梯了，所以方法还是F（n-2）；

　　　　　　 如果先跨1步，这样加上原来的n-2步，就一共走了n-1步了，方法数就是F（n-1）了，然后再跨多1步，同

　　　　　　 上，我们只是在每一种跨越n-1层阶梯方式的基础上再加上1就能到达第n层阶梯了，所以方法还是F（n-1）。

　　　　　　 希望这样说大家能理解。

 　　　　　　如有疑问和建议，非常欢迎大家发表评论。

 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>

 int sos(long long *arr,int n)
 {
     if(n<)
         return ;
     if(n== || n== || n==)
         return n;

     if(arr[n-]==)    //等于0表示没有被算出
         arr[n-]=sos(arr,n-);    //没有被算出,就先算出

     if(arr[n-]==)    //同理
         arr[n-]=sos(arr,n-); 

     return arr[n-]+arr[n-];    //等到算出arr[n-1]和arr[n-2]后就可以算出arr[n]了
 }

 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d",&n);    //输入台阶数 

     long long *arr;
     arr=(long long *)malloc(sizeof(long long)*(n+));    //分配n+1个空间 

     int i;
     for(i=;i<=n;i++)    //数组全部元素置0
         arr[i]=;

     printf("%I64d",sos(arr,n));

     free(arr);
     return ;
 }

2018-04-06