[USACO09Open] Tower of Hay 干草塔

为了调整电灯亮度，贝西要用干草包堆出一座塔，然后爬到牛棚顶去把灯泡换掉。干草包会从传送带上运来，共会出现N包干草，第i包干草的宽度是W i ，高度和长度统一为1。干草塔要从底层开始铺建。贝西会选择最先送来的若干包干草，堆在地上作为第一层，然后再把紧接着送来的几包干草包放在第二层， 再铺建第三层……重复这个过程， 一直到所有的干 草全部用完。每层的干草包必须紧靠在一起，不出现缝隙，而且为了建筑稳定，上层干草的宽度不能超过下层的宽度。 按顺序运来的干草包一定要都用上， 不能将其中几个干草包弃置不用。贝西的目标是建一座最高的塔，请你来帮助她完成这个任务吧。

输入格式

第一行：单个整数：\(N,1≤N≤100000\)第二行到\(N + 1\)行：第\(i + 1\)行有一个整数\(W_i，1 ≤ W_i ≤ 10000\)

输出格式

第一行：单个整数，表示可以建立的最高高度

样例输入

3

1

2

3

样例输出

2

题解

我们考虑贪心的做法。让我们看下面这张图



如图，一个小学生都明白的道理：对于一个三角形，对它进行等面积变换，为了使其越长，其形状必须越瘦。同理，在这道题中我们可以将干草堆抽象为三角形，为了让干草堆更高，我们只能让其更瘦。这里引用ZKW大佬的证明过程。

任意取出一个能使层数最高的方案，设有\(C_A\)层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为\(A_i\)；任取一个能使底边最短的方案，设有\(C_B\)层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为\(B_i\)。显然\(A_1>=B_1,A*C_B<=B*C_B\)，这说明至少存在一个k属于(1,\(C_B\))，满足\(A*k-1>=B*k-1且A*k<=B*k\)。也就是说，方案A第K层完全被方案B第K 层包含。构造一个新方案，第K层往上按方案 A，往下按方案B，两边都不要的块放中间当第K层。新方案的层数与A相同，而底边长度与B相同。证毕。

我们的第一种方案即从下往上处理每一层，当可以将当前层的最后一个干草堆放到当前层+1时我们就将其放上去，直到所有层都不满足条件为止。当然，不能只进行一次排布，因为当第h层向上移动后，第h-1层就有可能重新获得向上移动的机会。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
inline char get(){
	static char buf[3000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2 && (p2=(p1=buf)+fread(buf,1,3000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read(){
	register char c=get();register int f=1,_=0;
	while(c>'9' || c<'0')f=(c=='-')?-1:1,c=get();
	while(c<='9' && c>='0')_=(_<<3)+(_<<1)+(c^48),c=get();
	return _*f;
}
struct edge{
	deque<int> u;
	int w=0;
	bool up=1;
}E[maxn];
int n;
int h;
void exchange(){
	h=1;
	while(true){
		E[h].up=1;
		while(E[h].up){
			//cout<<h<<":";
			if(E[h].w-E[h].u.back() >= E[h+1].w+E[h].u.back()){
				E[h].w-=E[h].u.back();
				E[h+1].w+=E[h].u.back();
				E[h+1].u.push_front(E[h].u.back());
				E[h].u.pop_back();
				//cout<<E[h+1].u.front()<<endl;
			}
			else E[h].up=0;
		}
		h++;
		if(E[h].w==0)break;
	}
}
int main(){
	//freopen("1.txt","r",stdin);
	n=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++)E[1].u.push_back(read()),E[1].w+=E[1].u.back();
	for(register int i=1;i<=500000;i++)exchange();
	cout<<h;
	return 0;
}

但是此时我们发现时间复杂度过大，虽然方案本身是正确的却依然因为时限问题而TLE。甚至在数据比较严苛的时候我们甚至无法通过这种方案获得最终答案。

此时只能考虑另外的思路。

这时我们选择枚举最底层的组成，设\(f[i]\)表示从\(n到i\)中最底层的宽度，则可知\(f[i]=min(sum[j-1到i])\)。由于上一层的宽度永远小于下一层的宽度，所以\(f[j]<=sum[j-1到i]\)

再观察一下，由于所有的干草堆要全部使用且对于第\(i-1\)个干草堆放在第\(h\)层时，第\(i\)个必然放在第\(h\)层或第\(h+1\)层，我们可以令\(sum[i]\)表示宽度的前缀和，而\(sum[i]\)是随i的增大而增大的，所以从\(i到n\)一旦发现一个符合条件的决策\(j\)，便将其取出来更新\(f[i]\)。但是因为这样做的复杂度较大，仍不能通过所有数据。

再次分析，发现所有的决策的值（例如对于决策\(j\)值即为\(sum[j-1])由n\)往前都是单调递减的，也就是一个比一个优。因此决定性的因素则是他们的生效时间。

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100009
using namespace std;
inline char get(){
	static char buf[3000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2 && (p2=(p1=buf)+fread(buf,1,3000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read(){
	register char c=get();register int f=1,_=0;
	while(c>'9' || c<'0')f=(c=='-')?-1:1,c=get();
	while(c<='9' && c>='0')_=(_<<3)+(_<<1)+(c^48),c=get();
	return _*f;
}
int num[maxn],dp[maxn],f[maxn],sum[maxn],w[maxn];
int n;
int main(){
	//freopen("1.txt","r",stdin);
    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        w[i]=read();
        sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    }
    num[1]=n+1;
    int h=1,t=1;
    for(register int i=n;i;i--){
        while(h<t && f[num[h+1]]<=sum[num[h+1]-1]-sum[i-1]) ++h;
        f[i]=sum[num[h]-1]-sum[i-1];
        dp[i]=dp[num[h]]+1;
        num[++t]=i;
        while((t>h) && (f[num[t-1]]-sum[num[t-1]-1]+sum[num[t]-1]>f[num[t]]))t--,num[t]=num[t+1];
    }
    cout<<dp[1];
    return 0;
}