hdu5673 Robot 卡特兰数 / 默慈金数

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5673

分析：

　　这道题是一道裸的默慈金数，比较容易想到的是用卡特兰数来做。不了解的可以先学习一下。

　　卡特兰数：http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/5456490.html

　　默慈金数：http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/5456530.html

　　记路径长度为nn,那么机器人最多向右走⌊​n/2​​⌋步并向左走⌊​n/2​​⌋步。

　　　　　　Ans(n)=∑C​(n,​2i)​​ Catalan(i)

　　其中 C(n,2i) 表示从n个物品中取2*i个的组合数，Catalan(n)表示第n个卡特兰数，0 <= i <= ⌊​n/2​​⌋

　　基于n的取值范围，此题可以预处理出1,000,001以内的乘法逆元、卡特兰数。

　　每次询问，都可以递推组合数，或者提前一次性预处理好阶乘和阶乘的逆元得到组合数；累加组合数与相应卡特兰数的乘积，得到答案。

　　事实上，Ans(n)是第n个默慈金数，利用递推公式可以快速求出。

卡特兰数代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>

 using namespace std;
 const long long mod=;
 long long n;
 long long ans[],ni[];

 long long power(long long a,long long n,long long m)
 {
     long long ans=,tmp=a;
     while(n)
     {
         if(n&)
             ans=ans*tmp%m;
         tmp=tmp*tmp%m;
         n=n>>;
     }
     return ans%m;
 }

 void init()
 {
     ans[]=;
     ans[]=;
     for(long long i=;i<=;i++)
         ni[i]=power(i,mod-,mod)%mod;
     for(long long i=;i<=;i++)
         ans[i]=(*i-)%mod*ans[i-]%mod*ni[i+]%mod;
 }

 int main()
 {
     init();
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%lld",&n);
         long long res=,tmp=;
         for(long long  i=;i*<=n;i++)
         {
             res=(res+tmp*ans[i]%mod)%mod;
             tmp=tmp*(n-*i)%mod*(n-*i-)%mod*ni[*i+]%mod*ni[*i+]%mod;
         }
         cout<<res<<endl;
     }
     return ;
 }

默慈金数代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>

 using namespace std;

 const long long mod=;
 long long n;
 long long ans[];
 long long power(long long a,long long n,long long m)
 {
     long long ans=,tmp=a;
     while(n)
     {
         if(n&)
             ans=ans*tmp%m;
         tmp=tmp*tmp%m;
         n=n>>;
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     ans[]=;
     ans[]=;
     for(long long i=;i<=;i++)
         ans[i+]=((*i+)%mod*ans[i]%mod+*i*ans[i-]%mod)%mod*power(i+,mod-,mod)%mod;
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%lld",&n);
         cout<<ans[n]<<endl;
     }
     return ;
 }