样本是统计推断的依据;

统计推断的基本问题可以分为两大类:

  • 估计问题

    • 点估计,
    • 区间估计
  • 假设检验

1. 点估计

设总体 X 的分布函数 F(x;θ) 的形式已知,θ 是待估参数。X1,X2,…,Xn 是 X 的一个样本,x1,x2,…,xn 是相应的一个样本值。点估计问题就是要构造一个适当的统计量,θ^(X1,X2,…,Xn),用它的观察值 θ^(x1,x2,…,xn) 作为未知参数 θ 的近似值。

  • 称 θ^(X1,X2,…,Xn) 为 θ 的估计量;
  • 称 θ^(x1,x2,…,xn) 为 θ 的估计值;

  • 矩估计法

    设 X 为连续型随机变量,其概率密度为 f(x;θ1,…,θk) ,或 X 为离散型随机变量,其分布律为 P{X=x}=p(x;θ1,…,θk),其中 θ1,…,θk 为待估参数,X1,X2,…,Xn 是来自总体 X 的样本,假设总体 X 的前 k 阶矩为:

    μℓ=∫∞−∞xℓ(x;θ1,…,θk)dx

    样本的矩为:

    Aℓ=1n∑i=1nXℓi
  • 极大似然估计

3. 例题

  • 设总体 X 在 [a,b] 上服从均匀分布,a,b 未知,X1,X2,…,Xn 是来自 X 的样本,试求 a,b 的矩估计量;

    μ1=μ2==a+b2,E(X2)=D(X)+E2(X)(b−a)212+(a+b)24

    解这一方程组得,a=μ1−3(μ2−μ21)−−−−−−−−−√,b=μ1+3(μ2−μ21)−−−−−−−−−√,然后用样本矩 A1⇒μ1,A2⇒μ2(1n∑(Xi−X¯)2=1n∑X2i−X¯2)

    • a^=A1−3(A2−A21)−−−−−−−−−√=X¯−3n(∑iX2i−X¯2)−−−−−−−−−−−−−√
    • b^=A1+3(A2−A21)−−−−−−−−−√=X¯−3n(∑iX2i−X¯2)−−−−−−−−−−−−−√

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