统计推断（statistical inference）

样本是统计推断的依据；

统计推断的基本问题可以分为两大类：

• 估计问题
  • 点估计，
  • 区间估计
• 假设检验

1. 点估计

设总体 X 的分布函数 F(x;θ) 的形式已知，θ 是待估参数。X1,X2,…,Xn 是 X 的一个样本，x1,x2,…,xn 是相应的一个样本值。点估计问题就是要构造一个适当的统计量，θ^(X1,X2,…,Xn)，用它的观察值 θ^(x1,x2,…,xn) 作为未知参数 θ 的近似值。

• 称 θ^(X1,X2,…,Xn) 为 θ 的估计量；

• 称 θ^(x1,x2,…,xn) 为 θ 的估计值；

• 矩估计法

  设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f(x;θ1,…,θk) ，或 X 为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=p(x;θ1,…,θk)，其中 θ1,…,θk 为待估参数，X1,X2,…,Xn 是来自总体 X 的样本，假设总体 X 的前 k 阶矩为：

  μℓ=∫∞−∞xℓ(x;θ1,…,θk)dx

  样本的矩为：

  Aℓ=1n∑i=1nXℓi

• 极大似然估计

3. 例题

• 设总体 X 在 [a,b] 上服从均匀分布，a,b 未知，X1,X2,…,Xn 是来自 X 的样本，试求 a,b 的矩估计量；

  μ1=μ2==a+b2,E(X2)=D(X)+E2(X)(b−a)212+(a+b)24

  解这一方程组得，a=μ1−3(μ2−μ21)−−−−−−−−−√,b=μ1+3(μ2−μ21)−−−−−−−−−√，然后用样本矩 A1⇒μ1,A2⇒μ2（1n∑(Xi−X¯)2=1n∑X2i−X¯2）

  • a^=A1−3(A2−A21)−−−−−−−−−√=X¯−3n(∑iX2i−X¯2)−−−−−−−−−−−−−√
  • b^=A1+3(A2−A21)−−−−−−−−−√=X¯−3n(∑iX2i−X¯2)−−−−−−−−−−−−−√